El rey borracho

Nuestro rey borracho de la semana pasada solo puede llegar al borde del tablero en tres jugadas si salen tres caras (si es el rey blanco, o tres cruces si es Baltasar), luego la probabilidad es 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8.

La probabilidad de que el rey vuelva al punto de partida en tres jugadas es 0, ya que para ello se necesita un n¨²mero par de jugadas, puesto que tiene que desandar cada paso que se aleja de su casilla inicial.

A medida que aumenta el n¨²mero de tiradas, aumenta la probabilidad de que salgan un 50 % de caras y un 50 % de cruces, por lo que la probabilidad de que el rey vuelva a su casilla de partida tiende a 1.

Curiosamente, la pregunta final, que parec¨ªa la m¨¢s sencilla, es la que ha suscitado mayor debate entre los lectores (ver comentarios de la semana pasada). Hay tres posibilidades: gana Ana, gana Berta o empatan, y esto explica que algunos dieran soluciones pr¨®ximas al 33 %; pero las tres posibilidades no son equiprobables. Como es f¨¢cil ver mediante un cuadro de posibilidades, los equiprobables son el empate y el no-empate, lo que significa que la probabilidad de que gane Ana (o de que gane Berta) es del 25 %. Este es uno de esos acertijos que son m¨¢s interesantes desde el punto de vista de la psicolog¨ªa cognitiva que como problemas matem¨¢ticos.?

El rey bidimensional

Como el hombre unidimensional de Marcuse, nuestro rey borracho solo pod¨ªa moverse a lo largo de una l¨ªnea (la primera fila del tablero de ajedrez). Situ¨¦moslo ahora en el centro del tablero y permit¨¢mosle desplazarse no solo a derecha e izquierda sino tambi¨¦n adelante y atr¨¢s (pero no en diagonal). Si todos sus pasos son aleatorios y todas las posibilidades equiprobables, ?cu¨¢l es la probabilidad de que el rey llegue al borde del tablero en tres jugadas? ?Y en cuatro jugadas o menos? ?Y en cinco jugadas o menos? ?Y la probabilidad de que vuelva a la casilla de partida en cuatro jugadas o menos? ?Y la probabilidad de que, en un tablero ilimitado, vuelva al punto de partida al cabo de infinitas jugadas?

Como es m¨¢s f¨¢cil disponer de una moneda que de un dado tetra¨¦drico, podemos determinar las jugadas aleatorias lanzando una moneda dos veces seguidas: si salen dos caras, el rey se desplaza una casilla a la derecha; si salen dos cruces, se desplaza una casilla a la izquierda; si sale cara y luego cruz, se desplaza una casilla hacia delante; y si sale cruz y luego cara, se desplaza una casilla hacia atr¨¢s.

Obviamente, la situaci¨®n se puede ampliar a tres (o m¨¢s) dimensiones. Si el rey borracho no estuviera en una cuadr¨ªcula sino en una ¡°cub¨ªcula¡± (red tridimensional de celdillas c¨²bicas) y pudiera desplazarse tambi¨¦n hacia arriba y hacia abajo, ?cu¨¢l ser¨ªa su probabilidad de volver al punto de partida al cabo de infinitas jugadas?