Cuando ir en coalici¨®n puede ser una p¨¦sima idea

Ya hay soluci¨®n para el tercer y ¨²ltimo de los desaf¨ªos matem¨¢ticos electorales presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Ang¨¦lica Benito Sualdea y Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesores de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, propusieron el desaf¨ªo y nos dan ahora la soluci¨®n.

Recordemos que se trataba de decidir si, cuando se usa el m¨¦todo de Sainte-Lagu?, y asumimos la hip¨®tesis (quiz¨¢s poco realista) de que, si dos partidos se presentan en coalici¨®n, recibir¨¢n los mismos votos que recibir¨ªan los partidos individualmente, entonces la coalici¨®n puede obtener los mismos esca?os, ganar esca?os o perder esca?os con respecto a la suma de los que habr¨ªan logrado por separado.

La respuesta, que han dado correctamente pr¨¢cticamente todos los lectores que han enviado soluciones en el plazo indicado, es que los tres escenarios son posibles. Vamos a dar un ejemplo de cada caso, considerando siempre 3 partidos que se reparten 5 esca?os y una posible coalici¨®n de los dos partidos con m¨¢s votos.

Empezamos con un ejemplo en el que la coalici¨®n obtiene los mismos esca?os que los partidos por separado. Los partidos reciben 200, 200 y 72 votos. Recordemos que se divide entre los n¨²meros impares (aunque no escribimos todos los cocientes porque no son necesarios).

Cuando se presentan por separado, los mayores cocientes son 200, 200, 72, 66,6 y 66,6, y los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 esca?os.

Sin embargo, si los dos partidos mayores se coaligan y obtienen 400 votos, los cocientes son ahora 400, 133,3, 80, 72 y 57,14 y por tanto la coalici¨®n logra 4=2+2 esca?os, los mismos que si los partidos se presentan por separado.

Damos ahora un ejemplo en el que la coalici¨®n obtiene m¨¢s esca?os que los partidos por separado. Los partidos reciben 190, 190 y 40 votos.

Si se presentan por separado, los mayores cocientes son 190, 190, 63,3, 63,3 y 40, y los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 esca?os.

Pero si los dos partidos mayores se coaligan, obtienen 380 votos y resulta que tenemos

Ahora 380/9=42,22¡­ >40, y por tanto, la coalici¨®n se lleva los 5 esca?os, dejando al partido peque?o sin ninguno.

Por ¨²ltimo, un ejemplo en el que la coalici¨®n obtiene menos esca?os que los partidos por separado. Los partidos reciben 210, 210 y 190 votos.

Como en los dos ejemplos anteriores, por separado los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 esca?os, porque los mayores cocientes son 210, 210, 190, 70 y 70.

Esta vez, si los dos partidos mayores se coaligan obtienen 420 votos, y la tabla resultante es

Los mayores cocientes son ahora 420, 190, 140, 84, y 63,33, que es mayor que 60, de modo que la coalici¨®n logra s¨®lo 3 esca?os.

Los ejemplos los hemos obtenido haciendo un poco de matem¨¢ticas. Veamos por ejemplo el ¨²ltimo (los dem¨¢s son similares).

Buscamos repartir 5 esca?os entre 3 partidos con V, V y U votos. Suponemos

V > U

y queremos que el reparto sea 2-2-1. Debe ser entonces

U > V / 5

para que ninguno de los partidos grandes se lleve 3 esca?os, que es a lo que corresponde dividir entre 5, y por tanto

5 x U > V

Queremos ahora que, si los dos partidos grandes se coaligan, el peque?o le arrebate un esca?o. Para eso debe ser

U / 3 > 2 x V / 7

Es decir,

U > 6 x V / 7

Poniendo todo junto, queremos que

5 x U > V > U > 6 x V / 7

Basta tomar v=210 y u=190 para que se cumplan todas las condiciones y tener nuestro ejemplo.

Parece que este desaf¨ªo ha resultado m¨¢s dif¨ªcil que los anteriores y solo se han recibido 40 respuestas (eso s¨ª, procedentes, como de costumbre, de diversos pa¨ªses). A cambio, muchas de ellas son especialmente interesantes. No podemos mencionar todas, pero, a modo de ejemplo:

- Julio M. y Carmen Z. demuestran (independientemente) que, si bien la coalici¨®n de dos partidos puede perder esca?os, nunca puede perder m¨¢s de uno.

- Aitor S. da una representaci¨®n gr¨¢fica completa de cu¨¢ndo se produce cada una de las tres situaciones.

- Xabier L. presenta lo que quiz¨¢s sea la soluci¨®n m¨ªnima: con s¨®lo 9 votantes y 3 esca?os consigue dar ejemplos en los que la coalici¨®n gana, pierde o consigue los mismos esca?os que los partidos por separado.

- Mart¨ª J. ha dado ejemplos que no son artificiales (como los nuestros y los de todos los dem¨¢s lectores), sino sacados de los resultados reales de las elecciones del pasado 28 de abril. Siempre usando Sainte-Lagu?, nos muestra que, en Navarra, la coalici¨®n UPN-PP-C's habr¨ªa obtenido un esca?o m¨¢s que si, como en 2016, UPN-PP hubiesen ido por un lado y C's por otro (hace la hip¨®tesis, razonable para lo que nos interesa, de que los votos de 2018 se habr¨ªan repartido entre ambas candidaturas en la misma proporci¨®n que en 2016). En Girona, una coalici¨®n de ERC y JxCat no habr¨ªa mejorado los resultados de los dos partidos por separado. Por ¨²ltimo, una "Gran Coalici¨®n Canaria" entre CC y NCa en la provincia de Las Palmas habr¨ªa resultado una mala idea, ya que habr¨ªan obtenido un esca?o menos que si no se hubiesen coaligado (?lo que nunca puede suceder con D'Hondt!).

Este alarde de capacidad para buscar informaci¨®n interesante hace a Mart¨ª J. merecedor de recibir, como regalo de la RSME, el libro Soluciones ?Aj¨¢!, de Martin Erickson , que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Pero adem¨¢s, para premiar su fidelidad, la RSME ha seleccionado tambi¨¦n a tres de las 17 personas que han resuelto correctamente los tres desaf¨ªos, y enviar¨¢ a cada una un ejemplar de D¨¦jame contarte, de G¨¹nter M. Ziegler, otro de los t¨ªtulos de la mencionada Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos. Los agraciados son Javier D., Pilar R. y Germ¨¢n S.

Confiamos en que hay¨¢is disfrutado con esta serie de desaf¨ªos matem¨¢ticos electorales y os esperamos en la siguiente ocasi¨®n.