Orden desordenado

La soluci¨®n al ¡°problema del final feliz¡±, planteado la semana pasada, es 5. Para verlo con m¨¢s claridad, en lugar de estrellas consideremos 5 clavos clavados a medias en una tabla plana: si los rodeamos con un lazo y lo apretamos alrededor del conjunto hasta que el cordel quede tenso, hay tres posibilidades: el cordel forma un pent¨¢gono con los 5 clavos como v¨¦rtices, el cordel forma un cuadril¨¢tero con 4 clavos como v¨¦rtices y 1 en su interior, el cordel forma un tri¨¢ngulo con 3 de los clavos como v¨¦rtices y 2 en su interior. En el primer caso, 4 cualesquiera de los clavos forman un cuadril¨¢tero convexo; en el segundo caso, ya tenemos el cuadril¨¢tero; y en el tercero, los 2 clavos interiores forman un cuadril¨¢tero convexo con 2 de los del tri¨¢ngulo. La ilustraci¨®n adjunta (tomada del art¨ªculo de Clara Grima citado la semana pasada) lo muestra con claridad.

Cabr¨ªa pensar que, si para tener la certeza de poder formar un cuadril¨¢tero convexo bastan 5 puntos, con 6 tendremos la seguridad de poder formar un pent¨¢gono convexo; pero no es as¨ª: para ello hacen falta un m¨ªnimo de 9 puntos. ?Y para tener la certeza de poder formar un hex¨¢gono convexo?

Primidad y divisibilidad

Puesto que el tema de la semana pasada era el desorden, un concepto tan escurridizo como el de azar, muchos comentarios giraban alrededor del caos, la aleatoriedad y otras cuestiones que lindan con la filosof¨ªa. Y en ese contexto nuestro ¡°usuario destacado¡± Manuel Amor¨®s propuso un curioso problema:

Si disponemos los enteros entre 1985 y 1995 (ambos incluidos) seguidos en un cierto orden, ?el n¨²mero obtenido podr¨¢ ser en alg¨²n caso un n¨²mero primo?

El primero de estos enormes n¨²meros de 44 cifras ser¨ªa: 19851986198719881989199019911992199319941995, que evidentemente no es primo porque termina en 5, y por tanto es divisible por 5.

Podemos saber si un n¨²mero, por largo que sea, es divisible por 5 sin m¨¢s que ver su ¨²ltima cifra: si es un 0 o un 5, el n¨²mero ser¨¢ divisible por 5; de lo contrario, no lo ser¨¢

Otro ¡°usuario destacado¡±, Francisco Montesinos, dio la respuesta correcta, pero sin demostrarla, de modo que invito a mis sagaces lectoras/es a desordenar y reordenar los once n¨²meros del 1985 al 1995 de manera que formen un primo, o a demostrar que no es posible.

Podemos saber si un n¨²mero, por largo que sea, es divisible por 5 sin m¨¢s que ver su ¨²ltima cifra: si es un 0 o un 5, el n¨²mero ser¨¢ divisible por 5; de lo contrario, no lo ser¨¢. Tambi¨¦n podemos saber inmediatamente si es divisible por 4, pues para ello el n¨²mero formado por sus dos ¨²ltimas cifras ha de ser m¨²ltiplo de 4. Y, an¨¢logamente, para que sea divisible por 8 tiene que serlo el n¨²mero formado por las tres ¨²ltimas cifras.

Menos evidentes son los criterios de divisibilidad por 3, por 9 y por 11. ?Los recuerdas? ?Puedes demostrarlos? ?Puedes deducirlos?

Carlo Frabetti?es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.