Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: un reintegro no equitativo... por poco

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C¨®mo ver el sorteo del Gordo de la Loter¨ªa de Navidad

Los emprendedores de la Loter¨ªa de Navidad

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico extraordinario presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con motivo del sorteo de la Loter¨ªa de Navidad. Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid? y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, present¨® el desaf¨ªo, y nos da ahora la soluci¨®n, no sin antes se?alar que la idea surge de una sugerencia que hizo a cuenta del desaf¨ªo del a?o pasado uno de los participantes habituales en los desaf¨ªos, Carlos Santa Mar¨ªa, a quien damos las gracias.

Recordemos el problema planteado. Se trataba de calcular qu¨¦ probabilidad tiene cada uno de los n¨²meros de 100 cifras que participan en la G¨²gol Loter¨ªa de Navidad que se juega en una galaxia muy lejana, de ganar el G¨²gol-reintegro, que se asigna a los n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincide con la terminaci¨®n del Gordo, salvo el Gordo propiamente dicho.

La clave est¨¢ precisamente en la ¨²ltima frase: el Gordo no puede ganar el G¨²gol-reintegro. Eso va a hacer que la probabilidad, aunque por poco, no sea la misma para todos los n¨²meros.

Observemos que cada terminaci¨®n la tienen 10^99 n¨²meros (utilizamos como de costumbre el acento circunflejo para indicar un exponente), y por tanto la probabilidad de que el G¨²gol-d¨ªgito del n¨²mero que yo juego coincida con la terminaci¨®n del Gordo es 10^99/10^100=1/10=0.1.

Esto es cierto incluso si juego el 0¡­0 (100 ceros), que es el ¨²nico n¨²mero que tiene G¨²gol-d¨ªgito 0: ganar¨ªa el G¨²ol-reintegro si el Gordo cayese en cualquiera de los 10^99 n¨²meros que acaban en 0¡­ salvo si el Gordo fuese justo el n¨²mero 0¡­0 que yo juego (en ese caso ning¨²n n¨²mero ganar¨ªa el G¨²gol-reintegro, pero esa no es la pregunta).

Esta es la situaci¨®n general: debemos distinguir entre n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincide con su terminaci¨®n (como el 0) y n¨²meros en los que esto no sucede (como el que yo juego este a?o, que acaba en 8 pero su G¨²gol-d¨ªgito es 3). En el primer caso, como hay que excluir la posibilidad de que me haya tocado el Gordo, la probabilidad de ganar el G¨²gol-reintegro es

(10^99-1)/10^100=0,0999¡­999 (99 nueves).

En el segundo caso, si mi G¨²gol-d¨ªgito es la terminaci¨®n de el Gordo no puede haberme tocado el Gordo, y la probabilidad de tener G¨²gol reintegro es ligeramente mayor:

10^99/10^100=0,1.

En particular, aunque por poco, esta regla sigue sin ser equitativa.

Para completar el desaf¨ªo, indiquemos qu¨¦ n¨²meros son de cada tipo. Para ello recordamos que, como explicamos el a?o pasado, para cualquier n¨²mero su G¨²gol-d¨ªgito es el resto que obtenemos al dividirlo entre 9 (con la peque?a salvedad de que, en lugar de restos entre 0 y 8 los tendremos entre 1 y 9). De esto podemos deducir que:

* Hay 10^99+9 n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito COINCIDE con su terminaci¨®n, a saber:

- el 0.

- los 9 n¨²meros de 1 cifra.

- los 10^99-1 n¨²meros que no acaban en 0 y tales que el G¨²gol-d¨ªgito del n¨²mero que se obtiene quit¨¢ndoles la ¨²ltima cifra es 9.

* Hay 9x10^99-9 n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito NO COINCIDE con su terminaci¨®n, a saber:

- los 10^99-1 que acaban en 0 y no son el 0.

- los 8x(10^99-1) n¨²meros que no acaban en 0 y tales que el G¨²gol-d¨ªgito del n¨²mero que se obtiene quit¨¢ndoles la ¨²ltima cifra no es 9.

Parece que el desaf¨ªo de este a?o ha resultado m¨¢s dif¨ªcil de lo que esper¨¢bamos: apenas la mitad de las respuestas recibidas son correctas. No obstante, muchos de los lectores dan soluciones muy claras y completas, y bastantes explican por qu¨¦ los n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincide con su terminaci¨®n son los de la forma 90n+d, para d=0, 1, 2,...,9, una descripci¨®n precisa y sencilla de escribir que no se nos ocurri¨® incluir en el v¨ªdeo. Me alegra que los lectores mejoren nuestra soluci¨®n.

Entre los lectores cuyas respuestas m¨¢s nos han gustado (no podemos mencionar a todos) est¨¢n Luis Alberto G. C, que ha escrito desde M¨¦rida (Venezuela), Santiago R. M. y Noelia C.. Esta ¨²ltima recibir¨¢ como regalo de la RSME el libro Soluciones ?Aj¨¢!, de Martin Erickson, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Hay¨¢is dado o no con la soluci¨®n correcta, espero que el desaf¨ªo os haya resultado interesante. Personalmente, valoro mucho las muestras de agradecimiento por prepararlos. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, os deseo felices fiestas ?y suerte este domingo con la loter¨ªa!.