Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: un n¨²mero muy variable de segmentos

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad que, un a?o m¨¢s, ha propuesto Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.

Recordemos el desaf¨ªo. Sobre un d¨¦cimo de loter¨ªa, que mide 11 cm de ancho y 6,5 cm de alto, trazamos una l¨ªnea recta que empiece en la esquina inferior izquierda y llegue hasta el punto situado en el lado derecho y a distancia 3,6 cm desde el borde inferior del d¨¦cimo. A continuaci¨®n trasladamos horizontalmente ese punto hasta el lado izquierdo del d¨¦cimo y, desde este punto trasladado, dibujamos un nuevo segmento paralelo al anterior. Este segmento ¡°se sale¡± del d¨¦cimo por el lado superior. Trasladamos el punto de salida verticalmente al lado inferior y trazamos un tercer segmento paralelo. El proceso se repite: si nos salimos del d¨¦cimo por la derecha nos trasladamos horizontalmente al borde izquierdo del d¨¦cimo y si nos salimos por arriba nos trasladamos verticalmente al borde inferior. Tras cada traslado trazamos un nuevo segmento paralelo a los anteriores.

El desaf¨ªo consist¨ªa, en primer lugar, en decidir cu¨¢ntos segmentos habr¨ªamos trazado antes de llegar a la esquina superior derecha del d¨¦cimo. Despu¨¦s hab¨ªa que contestar a la misma pregunta suponiendo ahora que el primer punto que alcanzamos se hubiese situado en el lado derecho, pero a una altura de 3,9 cm desde el borde inferior del d¨¦cimo.

Las respuestas son que hay que trazar 100 segmentos en el primer caso, pero s¨®lo 7 en el segundo. Veamos por qu¨¦.

Cuando tengamos que ¡°salirnos¡± del d¨¦cimo, en lugar de eso ponemos al lado un nuevo d¨¦cimo y seguimos trazando la recta. Esto es equivalente a desplazarse al lado opuesto. Podemos pensar por tanto que tenemos un tapiz de d¨¦cimos con m filas x n columnas, de modo que el tama?o es mx6,5 cm de alto y nx11 cm de ancho, y lo que hemos hecho es unir las esquinas inferior izquierda y superior derecha del tapiz con una sola recta de pendiente 3,6/11, como muestra (con otros valores) el siguiente dibujo

Para que la recta llegue a la esquina superior derecha, debe ser mx6,5/nx11=3,6/11, es decir, debe ser m/n=3,6/6,5 con m, n enteros lo menores posibles. Se tiene m/n=36/65 y, como 36 y 65 no tienen factores comunes los menores m y n son m=36, n=65.

La pregunta es ahora cu¨¢ntos d¨¦cimos habremos atravesado antes de llegar a nuestro destino.

Entramos en un nuevo d¨¦cimo cada vez que atravesamos una l¨ªnea horizontal o una l¨ªnea vertical de las que separan los d¨¦cimos. Hay m-1 de las primeras y n-1 de las segundas. Si sumamos el d¨¦cimo en el que trazamos el primer segmento (antes de cruzar ninguna l¨ªnea), resulta que el total de d¨¦cimos atravesados, y por tanto el total de segmentos, es (m-1)+(n-1)+1=m+n-1. Hay que observar que nunca antes cruzamos por una esquina porque cuando eso sucede significa que hemos llegado a la esquina superior derecha del d¨¦cimo.

Como hab¨ªamos visto que era m=36, n=65, el n¨²mero de segmentos trazados es 36+65-1=100.

Si repetimos e mismo razonamiento con el primer punto que se alcanza situado ahora a una altura de 3,9 cm, llegamos a m/n=3,9/6,5=39/65. Pero ahora 39=3x13 y 65=5x13, de modo que m/n=3/5 y el momento en que se llega a la esquina superior derecha corresponde a m=3, n=5, por lo que el n¨²mero de segmentos trazados habr¨¢ sido s¨®lo 3+5-1=7.

Experimentando con m¨¢s medidas se puede ver lo mucho que var¨ªa el n¨²mero de segmentos: para un primer punto situado a una altura de 3,25 cm se necesitan s¨®lo 2 segmentos; pero si el primer punto se sit¨²a a 3,26 cm de altura los segmentos necesarios ser¨ªan 975.

Se han recibido en el plazo marcado unas 300 soluciones, de las que aproximadamente el 60% eran correctas. Muchas de las incorrectas lo son por lo que parecen peque?os despistes. De hecho, el error m¨¢s frecuente es decir que son necesarios 65 segmentos en el primer caso y 5 en el segundo. Obs¨¦rvese que esos son los valores que hemos llamado n en nuestra soluci¨®n. La lectura de los correos de los lectores que han dado esos valores hace pensar que han encontrado el procedimiento para resolver el desaf¨ªo, pero se han olvidado de contar los casos en los que el segmento sale del d¨¦cimo por el borde superior.

Las respuestas correctas se han alcanzado en general con consideraciones del estilo de las nuestras, aunque no siempre coincidentes en los detalles (ha habido, por ejemplo, muchas invocaciones al m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo). Pero tambi¨¦n ha habido lectores que han utilizado otros m¨¦todos, incluido escribir programas inform¨¢ticos para seguir las peripecias del segmento.

Ha sido notable la cantidad de lectores que han acompa?ado sus soluciones de gr¨¢ficos de alta calidad. ?La soluci¨®n de Alejandro R. G. incluso era un v¨ªdeo! Como muestra, presentamos dos gr¨¢ficos animados, uno de los que ha enviado ?lvaro G. H., que muestra c¨®mo van apareciendo los 100 segmentos de la primera parte del desaf¨ªo.

y el de Jos¨¦ Luis P. C., que recoge muy navide?amente la soluci¨®n a la segunda pregunta.

Algunos lectores han sugerido que hemos disfrazado de geometr¨ªa un problema aritm¨¦tico. Tienen algo de raz¨®n, pero no toda, porque nuestra forma de resolver el desaf¨ªo parte impl¨ªcitamente de considerar una semejanza de tri¨¢ngulos (varios lectores han sido m¨¢s expl¨ªcitos y han mencionado el teorema de Tales). Aunque hay otras maneras de presentar la soluci¨®n, creemos que hacerlo as¨ª simplifica la exposici¨®n.

Por otra parte, la idea de continuar por la izquierda cuando el segmento se sale por la derecha es equivalente a pegar los dos laterales del d¨¦cimo, convirti¨¦ndolo en un cilindro. Si despu¨¦s, para evitar salirnos por arriba, pegamos los extremos superior e inferior del cilindro que hemos obtenido (no es nada f¨¢cil hacerlo con un d¨¦cimo de papel, pero usemos la imaginaci¨®n), obtenemos la figura geom¨¦trica que en matem¨¢ticas llamamos toro, m¨¢s conocida como rosquilla.

Nuestro desaf¨ªo se pod¨ªa haber planteado por tanto en t¨¦rminos de enrollar un hilo sobre un toro/rosquilla y es el hecho aritm¨¦tico de que los n¨²mero 3,6/6,5 y 3,9/6,5 sean racionales lo que hace que las trayectorias geom¨¦tricas que traza el hilo vuelvan al punto de partida (si hubi¨¦semos situado el primer punto de corte a altura ¦Ð o ra¨ªz cuadrada de 2 nunca habr¨ªamos llegado a la esquina superior derecha). Que obtener trayectorias cerradas en el toro est¨¦ relacionado con la racionalidad de un n¨²mero es uno de esos fascinantes misterios de las matem¨¢ticas.

Tres de los autores de soluciones totalmente correctas recibir¨¢n, por cortes¨ªa de la RSME, sendos ejemplares del libro ?Resu¨¦lvelo! Retos l¨²dicos para curiosos de las matem¨¢ticas, de James S. Tanton, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM. Son Ana y Jos¨¦ Luis T. (que por haber enviado una soluci¨®n conjunta tendr¨¢n que compartir el libro), ?ngela V. B. y Guillermo C.

Conf¨ªo en que el desaf¨ªo haya sido un entretenimiento agradable en estos tiempos dif¨ªciles. Para m¨ª, la entusiasta respuesta y los ¨¢nimos que los lectores transmit¨ªan en sus mensajes han compensado el esfuerzo de mantener esta tradici¨®n en un a?o en el que otras, por desgracia, tendr¨¢n que quedar en suspenso. ?Muchas gracias! En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, os deseo felices fiestas, aunque sean singulares, suerte ma?ana con la loter¨ªa y, sobre todo, salud.