Los pactos son pol¨ªtica, pero tambi¨¦n matem¨¢ticas (y no solo consiste en sumar)

Se ha se?alado estos d¨ªas que el proceso de conformar una mayor¨ªa suficiente como para investir un presidente del Gobierno de Espa?a el pr¨®ximo 2 de marzo no es un problema aritm¨¦tico, sino pol¨ªtico. Estoy de acuerdo con el fondo de esta afirmaci¨®n. Pero se?alar¨¦ que las matem¨¢ticas, aunque no resuelven el problema, s¨ª pueden ayudar (modestamente) a entenderlo.

La pregunta que quiero plantear es ?c¨®mo medir, en t¨¦rminos estrictamente matem¨¢ticos, la influencia que puede tener cada uno de los grupos pol¨ªticos presentes en el Congreso de los Diputados a la hora de constituir una mayor¨ªa ganadora, es decir, de lograr 176 votos favorables? Me limito a esta pregunta porque contemplar las diversas opciones de mayor¨ªas relativas que propiciar¨ªan las posibles abstenciones en la previsible segunda votaci¨®n del d¨ªa 5 es mucho m¨¢s complejo, y no quiero abusar de la paciencia de los lectores. Por ello hablaremos solo de la primera votaci¨®n, en la que es necesaria la mayor¨ªa absoluta del Congreso para que Pedro S¨¢nchez resulte investido.

Por supuesto el voto de cada diputado vale lo mismo, pero sabemos que votan agrupados. Para un primer an¨¢lisis consideraremos que se agrupan de acuerdo con los partidos y coaliciones que se presentaron a las elecciones, de modo que nos encontramos con diez "votantes", que cuentan respectivamente con 123 (PP), 90 (PSOE), 69 (Podemos), 40 (C's), 9 (ERC), 8 (DiL), 6 (PNV), 2 (IU), 2 (Bildu) y 1 voto (CC). Como hemos dicho, queremos medir la posible influencia de cada uno de estos votantes para llegar a los 176 votos necesarios.

Para ello, vamos a considerar la llamada Cuota de Poder de Banzhaf. Una coalici¨®n es ganadora (en nuestra situaci¨®n) si alcanza los 176 votos, y un votante (en nuestro caso un grupo pol¨ªtico) es "cr¨ªtico" en una coalici¨®n ganadora si, en caso de abandonarla, la coalici¨®n ya no llega a los 176 votos. Por ejemplo, en una gran coalici¨®n PP+PSOE+C's los dos primeros ser¨ªan cr¨ªticos, pero C's no lo ser¨ªa. El solitario voto de CC ser¨ªa cr¨ªtico en 3 coaliciones: PP+C's+Dil+IU+Bildu+CC, PSOE+Podemos+DiL+PNV+IU+CC y PSOE+Podemos+DiL+PNV+Bildu+CC.

Insistimos: no estamos valorando si estas coaliciones son pol¨ªticamente posibles o deseables. La mayor¨ªa ser¨¢n, en la pr¨¢ctica, imposibles. Solo tenemos en cuenta que son matem¨¢ticamente ganadoras.

Desde el punto de vista aritm¨¦tico el PP tiene m¨¢s cuota de poder en el Congreso que la que le corresponder¨ªa por sus esca?os

No es f¨¢cil hacer estas cuentas para todas las posibles coaliciones, pero por suerte hay webs que las hacen por nosotros. Hemos elegido https://math.temple.edu/~conrad/cgi-bin/PowerIndex.py, que utiliza la definici¨®n que daremos a continuaci¨®n (se pueden encontrar otras definiciones ligeramente distintas).

El ?ndice de Banzhaf de un votante (en este caso, de una formaci¨®n pol¨ªtica) es el n¨²mero de coaliciones en las que es cr¨ªtico (es decir, imprescindible para alcanzar mayor¨ªa absoluta). Su Cuota de Poder se obtiene dividiendo ese ¨ªndice por la suma de los ¨ªndices de todos los votantes.

En nuestro ejemplo, la mencionada web nos dice que esa suma de ¨ªndices es 872, y que el PP es cr¨ªtico en 329 coaliciones. Por tanto, su cuota de poder (a los efectos de elegir presidente del Gobierno el 2 de marzo) es 329/872, o aproximadamente un 37,7%. Obs¨¦rvese que este valor es algo mayor que el peso de sus 123 diputados, que suponen un 35,14% del Congreso.

Aunque los socialistas tienen m¨¢s votos y esca?os, matem¨¢ticamente la cuota de poder de PSOE y Podemos es la misma

La sorpresa viene al calcular las cuotas de poder de PSOE y Podemos. El PSOE nos recuerda continuamente el incontestable dato de que ellos han sido segundos, pero resulta que ambos partidos son cr¨ªticos en 183 coaliciones, y por tanto tienen id¨¦nticas cuotas de poder de casi el 21%, a pesar de que el PSOE tiene el 25,7 % de los diputados y Podemos solo el 19,7%.

?Y qu¨¦ pasa con Ciudadanos? Pues que sus 40 diputados, el 11,4% del total, le dan una cuota de poder de aproximadamente el 8,4%, notablemente menos que la mitad de la de Podemos.

En sentido contrario, el 2,57% de diputados de ERC supone una cuota de poder del 4%. Pero esta diferencia no se debe a que la Ley Electoral prime a los nacionalistas, sino, como ahora veremos, a c¨®mo hemos agrupado los esca?os del Congreso.

Nos podemos preguntar c¨®mo variar¨¢n las cuotas de poder si, como ha sucedido, Comprom¨ªs se desgaja de Podemos. Aparece ahora un und¨¦cimo votante, el propio Comprom¨ªs, con 4 votos, mientras que el votante Podemos ve reducido su peso a 65 votos. Si, con ayuda de nuestra web de cabecera, volvemos a hacer los c¨¢lculos, nos encontramos con que, sin cambiar sus diputados y con un nuevo actor a su izquierda, las cuotas de poder del PP y C's suben (al 39,6% y el 10,2% respectivamente), mientras que la del PSOE baja, al 19,2% ?y sigue siendo igual a la de Podemos, que ha perdido votos! Y ERC tambi¨¦n ve disminuir su cuota. Las posiciones en el espectro pol¨ªtico de quienes ganan y pierden podr¨ªan hacer pensar que esto es pol¨ªtica. Pero no: son matem¨¢ticas.

Podr¨ªamos tambi¨¦n haber hecho las cuentas considerando como votantes independientes a quienes, a pesar de haber ido en coaliciones, han optado por el Grupo Mixto: UPN, FAC, NCa y el diputado G¨®mez de la Serna. Los resultados volver¨ªan a ser parecidos a los de nuestro primer ejemplo, aunque PSOE y Podemos, todav¨ªa empatados, perder¨ªan algo de influencia. Pero quiz¨¢s sea m¨¢s instructivo calcular cu¨¢les ser¨ªan las cuotas de poder si hubiese que alcanzar una mayor¨ªa reforzada, como la requerida para una reforma constitucional profunda. Lo dejamos para cuando se sepa si esa (eventual) tarea recaer¨¢ sobre este Congreso o sobre el que pueda surgir de unas nuevas elecciones.

De momento, nos contentamos con haber mostrado que, aunque el problema de elegir presidente del Gobierno sea pol¨ªtico y sean nuestros representantes electos quienes tienen la responsabilidad de resolverlo, las matem¨¢ticas pueden cuantificar algunas de las dificultades que se interponen en el camino hacia la conformaci¨®n de una coalici¨®n ganadora.

Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n es profesor en el Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.