Una estrella con dos ojos

Ya hay soluci¨®n para el decimosexto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matem¨¢ticas de la Universidad de Barcelona, plante¨® el problema (v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (v¨ªdeo de la derecha). Esta semana quer¨ªamos construir una mol¨¦cula plana formada por siete ¨¢tomos de manera que en toda posible elecci¨®n de tres ¨¢tomos se cumpliera que al menos dos de ellos estuviesen a un ?ngstr?m de distancia. Y ped¨ªamos las coordenadas de la posici¨®n en el plano que ocupar¨ªan los siete ¨¢tomos.

Se han recibido 410 respuestas, de las que un 50% son correctas, as¨ª que ha sido el desaf¨ªo con menor n¨²mero de acertantes hasta la fecha.

La figura pedida s¨ª existe, tal y como explicamos en el pdf adjunto, y viene dado por un pent¨¢gono con dos puntos en su interior o como dice el hijo de Christian Chaya "tiene forma de estrella con dos ojos". Tambi¨¦n puede verse como dos rombos id¨¦nticos de lado 1 y diagonal menor 1 con un v¨¦rtice com¨²n, uno girado respecto al otro de manera apropiada tal y como dice en su respuesta Jos¨¦ Gayo Millares: "Fijamos un rombo (formado por dos tri¨¢ngulos equil¨¢teros de lado uno) y giramos el otro alrededor del punto de uni¨®n hasta que la distancia entre los otros dos extremos de la diagonal mayor sea la unidad".

Respecto a los puntos exactos, el pdf adjunto muestra una soluci¨®n, pero hay infinitas, pues toda rotaci¨®n sobre uno de los puntos mantiene las distancias y tambi¨¦n podr¨ªamos hacer una traslaci¨®n y poner el origen de coordenadas en cualquiera de los puntos interiores o en un v¨¦rtice. Por eso ped¨ªamos los valores exactos de las coordenadas, para poder comprobar la validez de las respuestas.

El 65% de las respuestas err¨®neas propon¨ªa un hex¨¢gono regular con el origen de coordenadas en el centro. Esta soluci¨®n no puede ser v¨¢lida pues tenemos dos posibilidades, si el lado del ex¨¢gono ABCDEF es 1, un conjunto de 3 v¨¦rtices no consecutivos, por ejemplo A C y E, no pueden satisfacer la condici¨®n pues forman un tri¨¢ngulo equil¨¢tero de lado mayor estrictamente que 1. Si el lado del ex¨¢gono ABCDEF no es 1, entonces cualquier colecci¨®n formada por dos v¨¦rtices contiguos y el centro tampoco satisfacen la condici¨®n ya que forman un tri¨¢ngulo equil¨¢tero de lado distinto de 1.

El 15% de las soluciones no correctas intentaba probar que no pod¨ªa construirse dicha mol¨¦cula con los requisitos indicados.

Realizado el sorteo entre los acertantes el agraciado con una biblioteca matem¨¢tica como la que puede coleccionarse cada domingo con EL PA?S ha sido Andr¨¦s S¨¢ez Schwedt, de Le¨®n. Esta semana en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, La burla de los sentidos, por Francisco Mart¨ªn Casadelrrey.

El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

Una mol¨¦cula de siete ¨¢tomos

Un pent¨¢gono con dos puntos