As¨ª se tapa una mesa

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo cuarto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Philippe Gimenez, Profesor Titular de la Universidad de Valladolid propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha): si con un cierto n¨²mero de discos, todos del mismo tama?o, conseguimos llenar un tablero rectangular, entonces con 4 veces este mismo n¨²mero de discos conseguiremos taparlo totalmente.

Para este quinto desaf¨ªo de agosto se han recibido 208 respuestas, de las que un 37% daban una respuesta que dimos por v¨¢lida. De estas respuestas, aproximadamente la mitad usaban un razonamiento similar a la soluci¨®n propuesta en el v¨ªdeo. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Rodrigo Rivas Costa . Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaqu¨ªn Navarro.

Recordemos el problema: se trata de demostrar que, dados un tablero rectangular y un n¨²mero suficientemente grande de discos todos del mismo tama?o, si con un n¨²mero n de estos discos consigo llenar el tablero (llenar significa colocar los discos con sus centros dentro del tablero de forma que no se superpongan y que no quepa ning¨²n disco m¨¢s), entonces con 4n discos conseguir¨¦ tapar el tablero (tapar significa colocar los discos con sus centros dentro del tablero de forma que todos los puntos del tablero queden dentro de uno de los discos).

La soluci¨®n propuesta por el Profesor Gimenez es la siguiente:

Supongamos que tenemos una configuraci¨®n de n discos que llena el tablero.

En primer lugar, observaremos que si en esta configuraci¨®n duplicamos el radio de los discos, entonces taparemos el tablero. En efecto, en la configuraci¨®n que llena el tablero vamos a sustituir los n discos de radio r por n discos grandes de radio 2r (los centros de los discos no han cambiado). Si en esta nueva configuraci¨®n alg¨²n punto del tablero no estuviera tapado por ninguno de los n discos grandes, esto significar¨ªa que este punto, que llamaremos P, estar¨ªa a una distancia estrictamente mayor que 2r de todos los centros de los discos. Pero si volvemos a nuestra configuraci¨®n original con discos de radio r, esto significa que en P podr¨ªamos colocar otro disco de radio r que no se solapar¨ªa con ninguno de los n discos peque?os, lo cual contradice que el tablero estuviera lleno con nuestros n discos. Por lo tanto no existe tal punto P, es decir que el tablero ha quedado totalmente tapado con los n discos de radio 2r.

Pero eso no es lo que se ped¨ªa ya que lo que pretendemos es tapar la mesa con discos de radio r. Lo que haremos entonces es un zoom, una reducci¨®n al 50% de todas las distancia en esta configuraci¨®n. Conseguimos de esta manera que los discos grandes vuelvan a tener el tama?o correcto ya que su radio se parte a la mitad. Pero en esta reducci¨®n, las medidas del tablero tambi¨¦n se han partido a la mitad por lo que hemos conseguido tapar con n discos de radio r un tablero con la mitad de largo y la mitad de ancho que el tablero original.

Este peque?o tablero representa exactamente una cuarta parte del tablero original ya que al partir a la mitad el largo y el ancho del tablero, obtenemos 4 tableros id¨¦nticos con la mitad de largo y la mitad de ancho. El razonamiento anterior nos dice que cada una de estas 4 partes del tablero original se puede tapar con n discos de radio r, por lo que el tablero original se puede tapar con 4n discos de radio r, que es lo que hab¨ªa que justificar.

Observamos adem¨¢s que esta demostraci¨®n es constructiva. En efecto no s¨®lo nos dice que se puede, sino que tambi¨¦n nos dice c¨®mo hacerlo. Si empezamos con n discos que llenan el tablero, entonces fij¨¢ndonos en los centros y reduciendo todas las distancias a la mitad, obtendremos la posici¨®n de los centros de los n discos que tapar¨¢n la cuarta parte del tablero. Basta reproducir en las 4 partes iguales del tablero esta configuraci¨®n para tapar nuestro tablero original.

La mayor¨ªa de las soluciones que dimos por v¨¢lidas y que no usaban el razonamiento anterior consistieron en intentar determinar la manera de llenar un tablero rectangular usando el menor n¨²mero de discos posible y, para esta configuraci¨®n particular, demostrar la propiedad. En efecto, aunque se pidiera demostrar la propiedad para cualquier manera de llenar el tablero, si se demuestra para una configuraci¨®n que use el menor n¨²mero de discos posible, la propiedad quedar¨¢ demostrada para todas las formas de llenar el tablero. El problema de esta soluci¨®n es que transforma el problema original en un problema mucho m¨¢s complejo por lo que casi ninguna de estas soluciones ha sido del todo correcta. En efecto no es nada trivial encontrar esa configuraci¨®n m¨¢s econ¨®mica ya que los bordes del tablero dan muchos problemas. Aun as¨ª, dado el gran esfuerzo realizado y la elegancia de algunas partes del razonamiento, hemos decidido dar por buenas estas soluciones.

El error m¨¢s com¨²n ha sido justificar la propiedad para una manera particular de llenar la mesa (sin justificar que ¨¦sta sea la que usa en menor n¨²mero de discos como hemos observado antes). Por ejemplo, algunos han llenado la mesa con muchos discos, intentando colocar el mayor n¨²mero de discos posible sin que se solapen, por lo que consegu¨ªan justificar en general que no era necesario usar 4 veces el n¨²mero de discos sino que casi siempre con el doble era suficiente pero eso no era lo que quer¨ªamos justificar. Otro error com¨²n part¨ªa de una buena idea: podr¨ªamos intentar sustituir, en nuestra configuraci¨®n que llena el tablero, cada disco por una configuraci¨®n de 4 discos que tapen una mayor superficie y as¨ª intentar tapar todo el tablero. Han aparecido de manera recurrente dos configuraciones de 4 discos pero desgraciadamente ninguna de las 2 funciona siempre. Aunque funcione muy bien con un solo disco en un tablero cuadrado por ejemplo, es f¨¢cil encontrar configuraciones donde esto no funciona. Finalmente tampoco han faltado los que han querido demostrar que la propiedad no era cierta aportando contraejemplos. Si pens¨¢is en un ejemplo donde la propiedad no parece cierta, pod¨¦is usar la demostraci¨®n constructiva presentada en el video para colocar, en esta configuraci¨®n, los centros de los discos que taparan el tablero en vuestro ejemplo y as¨ª convenceros de que la propiedad es siempre cierta.

El jueves plantearemos un nuevo reto.

C¨®mo tapar una mesa

As¨ª se tapa una mesa