As¨ª se elige un equipo goleador

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo s¨¦ptimo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

El futbolista Juan Mata, campe¨®n del Mundo con la selecci¨®n espa?ola y jugador del Chelsea, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha). Se han recibido en el plazo marcado 172 respuestas de las que el 71% son correctas. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que cada semana se distribuye con EL PA?S ha sido Jos¨¦ Mar¨ªa Rodr¨ªguez, de La Laguna (Tenerife).

Recordemos el desaf¨ªo. Dos porteros de f¨²tbol ten¨ªan que seleccionar sus equipos eligiendo entre 20 jugadores puestos en fila y escogiendo cada uno de os porteros alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila. Los porteros conocen el n¨²mero de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado m¨¢s goles que el otro. La primera parte del desaf¨ªo ped¨ªa demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca y la segunda parte del desaf¨ªo preguntaba si existe una estrategia an¨¢loga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores (se entiende que se quedar¨¢ un chico sin jugar).

Para la primera parte basta darse cuenta que si enumeramos los 20 jugadores del 1 al 20 y de izquierda a derecha, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, el primero en elegir puede decidir si empieza por el jugador n¨²mero 1 o por el jugador n¨²mero 20. Es decir, tiene la opci¨®n de elegir un jugador en posici¨®n impar o un jugador en posici¨®n par.

La estrategia empieza por sumar el n¨²mero de goles marcados en el torneo anterior por todos los jugadores que est¨¢n en posici¨®n par por un lado y, por otro, hacer la suma de los que est¨¢n en posici¨®n impar. Si la suma de los goles marcados por los que est¨¢n en posici¨®n impar es mayor o igual que la de los pares (vamos a suponer que es as¨ª, como en el ejemplo que presenta Juan Mata, donde los impares han marcado 53 goles y los pares 48), el portero que elige en primer lugar puede intentar quedarse con todos los jugadores situados en una posici¨®n impar, empezando por elegir al jugador n¨²mero 1.

En este caso, el portero que elige en segundo lugar est¨¢ entonces obligado a elegir un jugador que se encuentra en posici¨®n par, ya que s¨®lo puede elegir el 2 o el 20. Tanto si elige el 2 como si elige el 20, deja al portero que elige en primer lugar la posibilidad de elegir un jugador que se encuentra en posici¨®n impar, el 3 (si el segundo ha elegido el 2) o el 19 (si el segundo ha elegido el 20). En ambos casos, obliga al portero que elige en segundo lugar a elegir un jugador que est¨¢ en posici¨®n par. Y as¨ª sucesivamente.

Es decir, si el portero que elige en primer lugar escoge el jugador n¨²mero 1, autom¨¢ticamente tiene la opci¨®n de elegir a todos los jugadores que est¨¢n en posici¨®n impar y por tanto consigue su objetivo (recordemos que estamos suponiendo que la suma de los goles marcados por los que est¨¢n en posici¨®n impar es mayor o igual que la de los que est¨¢n en posici¨®n par).

Si la suma de los pares fuese mayor, el primer portero empezar¨ªa por elegir el 20, forzando al segundo a elegir un impar y as¨ª sucesivamente.

En cuanto a la segunda parte del desaf¨ªo, si se ha de escoger entre 21 jugadores no hay estrategia posible que. Para ello veamos dos casos en los que en uno gana claramente el primer portero en elegir y en otro puede ganar claramente el segundo.

Ejemplo n¨²mero 1: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior 1 gol, menos el que est¨¢ en primera posici¨®n que marc¨® 2:

2, 1 ,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

Claramente, el primero que elige escoge el jugador 1 y consigue el objetivo. Es decir, no hay estrategia posible para el que elige en segundo lugar.

Ejemplo n¨²mero 2: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior 1 gol, menos el que est¨¢ en posici¨®n 2 que marc¨® 2:

1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

En este caso, el que elige en primer lugar est¨¢ obligado a elegir el que est¨¢ en posici¨®n 21 y ninguno de los dos escoger¨¢ el n¨²mero 1, pues dejar¨ªa el mejor jugador en posici¨®n 2 libre para ser elegido por el portero contrario.

Pero a¨²n as¨ª, el segundo elige el 20, el primero el 19, el segundo el 18, etc, y, por tanto, el n¨²mero 2 ser¨¢ elegido por el segundo. Luego gana el segundo y el primero no tiene ninguna estrategia para ganar.

Las soluciones correctas a la primera parte han propuesto todas la misma estrategia, pero algunos lectores han ido un poco m¨¢s alla en su an¨¢lisis. Por ejemplo Jos¨¦ Gayo Millares se?ala que esta estrategia es no perdedora pero no es ¨®ptima en el caso de que los goles totales de los dos grupos sean los mismos, ya que podr¨ªa ocurrir que incluso en este caso el primer portero pueda ganar siempre. Por ejemplo, con los goles 1-2-2-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-1-2, donde los pares y los impares suman 4, el primer portero gana si comienza por el extremo derecho (2 goles), lo que obliga a que el segundo se quede con un solo gol. Ahora tenemos un problema de 18 jugadores al que aplicamos la estrategia no perdedora, y esto nos da la victoria en el de 20. Esta idea de que el primero en elegir vuelva a evaluar la situaci¨®n en cada uno de sus turnos ha sido tambi¨¦n sugerida por otros lectores.

Las soluciones a la segunda parte son m¨¢s variadas, y muchos lectores han hecho referencias expl¨ªcitas a determinados equipos, jugadores y entrenadores. Para no herir susceptibilidades recogemos como ejemplo una alejada en el tiempo y en el espacio, la que nos env¨ªa desde Alemania Daniel Richter. Si pensamos en el caso que s¨®lo un jugador haya marcado un solo gol, entonces ganar¨¢ el equipo con este jugador. Llamaremos Netzer a este jugador.

Caso 1: Si Netzer es el primero o el ¨²ltimo en la fila: esta claro que puede elegir A a Netzer, y por eso gana.

Caso 2: Si Netzer no el primero o el ¨²ltimo en la fila: Entonces B, siguiendo la estrat¨¦gia de la parte primera, puede conseguir a Netzer. Y gana.

El caso 2 de Daniel generaliza nuestro ejemplo, y muchos otros lectores han hecho un an¨¢lisis (en ocasiones muy exhaustivo) en el que, una vez elegido el primer jugador, el problema se reduc¨ªa al de la primera parte del desaf¨ªo.

En cuanto a las respuestas no correctas, la m¨¢s frecuente para la primera parte se parece mucho a la estrategia ganadora pero tiene un fallo sutil por lo que merece comentarse. Se trata de quienes proponen empezar por analizar s¨®lo los goles de los dos jugadores situados en los extremos y sus vecinos, es decir, los que llevan los n¨²meros 1, 2, 19 y 20 en nuestra soluci¨®n, y elegir, como hac¨ªamos nosotros, mirando si han marcado m¨¢s goles el 1 y el 19 o el 2 y el 20. La dificicultad estriba en que el segundo jugador no tiene por qu¨¦ limitarse a elegir entre estos. Veamos un ejemplo.

Supongamos que los goles marcados son 4-6-25-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-5. El primero compara los extremos 4-6-...-5-5 y ve que el 1 y el 19 han marcado 9 goles y el 2 y el 20 han marcado 11. Elige por tanto al jugador 20. Si el segundo elige al 1, el primero, siguiendo su estrategia, eligir¨¢ al 2. Pero entonces el segundo no est¨¢ obligado a elegir al 19, sino que puede "salirse de la estrategia" y elegir al 3, que con sus 25 goles le garantiza el equipo ganador. Este mismo ejemplo muestra por qu¨¦ no es buena idea elegir siempre al jugador que m¨¢s goles haya marcado entre los dos disponibles en cada momento.

El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

As¨ª se elige un equipo goleador

C¨®mo elegir un equipo goleador

EL PA?S Mathematical Challenge presented by Juan Mata