C¨®mo obtener parejas 'elegantes'

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo primer desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Ra¨²l Iba?ez, profesor titular de Geometr¨ªa en la Universidad del Pa¨ªs Vasco, responsable del portal Divulgamat, premio Savir¨®n 2010 y COSCE 2011; propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 380 respuestas, de las que el 97% son correctas. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Francisco Javier Ruiz Pi?ar, de Madrid.

Recordemos el desaf¨ªo. Un n¨²mero es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operaci¨®n sobre el resultado obtenido, e iterar este proceso suficientes veces, obtenemos finalmente 1. Por ejemplo, el n¨²mero 9.100 es elegante, ya que, primero, 9^2+1^2+0^2+0^2=82. Siguiendo el proceso: 8^2+2^2=68. Iterando una vez m¨¢s: 6^2+8^2=100. Y, por ¨²ltimo, 1^2+0^2+0^2=1. Lo que se ped¨ªa era encontrar infinidad de parejas de n¨²meros consecutivos de manera que ambos fueran elegantes.

Como demuestra el elevado porcentaje de respuestas correctas, este es un desaf¨ªo sencillo y divertido, que para ser resuelto simplemente necesita ponerse a la tarea y estar dispuesto a jugar un poco. Veamos c¨®mo puede hacerse.

Es f¨¢cil conseguir una familia infinita de n¨²meros elegantes, como han manifestado en sus correos la mayor¨ªa de las personas que han contestado a este desaf¨ªo, ya que la familia 10, 100, 1000, 10.000, etc., es una familia de n¨²meros elegantes. Otra de las caracter¨ªsticas de este problema es que cada n¨²mero elegante es una puerta a conseguir m¨¢s n¨²meros elegantes. As¨ª, como 10 es un n¨²mero elegante, cualquier n¨²mero cuya suma de los cuadrados de sus cifras sea 10 tambi¨¦n ser¨¢ un n¨²mero elegante. Como 1 y 3 satisfacen esta propiedad (1^2+3^2=1+9=10), entonces los n¨²meros 13 y 31 son n¨²meros elegantes.

Para conseguir m¨¢s n¨²meros elegantes podemos volver a realizar la misma operaci¨®n con los n¨²meros 13 y 31, aunque no hay que perder de vista nuestro objetivo de conseguir parejas de n¨²meros elegantes consecutivos. Si las cifras 1 y 3 nos val¨ªan para el 10, otras dos cifras peque?as, como son el 2 y el 3, nos valen para el 13, es decir, 2^2+3^2=4+9=13. De esta manera obtenemos otros dos n¨²meros elegantes como son el 23 y el 32 y, sobre todo, descubrimos la primera pareja de n¨²meros elegantes consecutivos, 31 y 32. Esta pareja ha sido descubierta por la pr¨¢ctica totalidad de las personas que nos han escrito, como Jes¨²s Campos -la primera persona en responder al desaf¨ªo- y, de hecho, es la piedra angular para obtener una familia infinita de n¨²meros elegantes consecutivos.

Hay varias maneras sencillas de lograr ese objetivo a partir de la pareja 31 y 32. La m¨¢s utilizada ha sido incluyendo ceros entre las dos cifras de esos n¨²meros, as¨ª se obtienen 31-32, 301-302, 3001-3002..., como han hecho Marisa Berdasco, Manuel Mart¨ªnez Llaneza, Eva Quijano o el t¨¢ndem Asun y Javier Sandon¨ªs, entre much¨ªsimos otros. Otra manera similar ser¨ªa convirtiendo esos n¨²meros en nuevos n¨²meros mediante unos y a?adiendo de nuevo ceros, as¨ª los n¨²meros 111...1110 (31 unos) y 111...111 (32 unos) son tambi¨¦n n¨²meros elegantes consecutivos, o incluyendo ceros en medio -de diferentes formas incluso- obtenemos una familia infinita de parejas de n¨²meros elegantes consecutivos. As¨ª, 111...1110 (31 unos) - 111...111 (32 unos), 111...11100 - 111...11101, 111...111000 - 111...111001, etc. Este m¨¦todo ha sido utilizado, por ejemplo, por Vicente Morales L¨®pez del Castillo.

Estas sencillas t¨¦cnicas valen para cualquier pareja de n¨²meros elegantes consecutivos. Ram¨®n Esteban-Romero utiliza la pareja 129-130, aunque nos comenta otras posibles parejas, de la que por ejemplo tenemos la serie infinita 1029-1030, 10029-10030, 100029-100030, etc. Y tambi¨¦n nos valdr¨ªa el poner tantos unos como el n¨²mero que tenemos, al igual que en el caso del 31. Javier Montero, aunque tambi¨¦n cita otras parejas, hace uso de 637 y 638. Felix Ure?a utiliza 15210 y 15211, a las que ha llegado apoy¨¢ndose en la pareja 31 y 32. La pareja 1221 y 1222 es utilizada por Ret Dui, la pareja 1184 y 1185 por Sergio L¨®pez Goikolea, la pareja 1771 y 1772 por David Ayala, o la pareja 65214 y 65215 por Alfredo Garrido, entre muchas otras parejas.

Una buena cantidad de personas se han dedicado primero a la b¨²squeda de n¨²meros elegantes hasta un cierto n¨²mero, e incluso han utilizado las herramientas inform¨¢ticas para ello. As¨ª Vicente Casado, ayud¨¢ndose de una hoja de c¨¢lculo, ha obtenido los n¨²meros elegantes hasta 100, a saber 1 - 7 - 10 - 13 - 19 - 23 - 28 - 31 - 32 - 44 - 49 - 68 - 70 - 79 - 82 - 86 - 91 - 94 - 97 - 100 (estos tambi¨¦n han sido obtenidos por otras personas como, por ejemplo, Guadalupe Guti¨¦rrez), y posteriormente hasta 1000, de donde obtuvo las parejas de n¨²meros elegantes consecutivos hasta esa cantidad, 31-32, 129-130, 192-193, 301-302, 319-320, 367-368, 391-392, 565-566, 622-623, 637-638, 655-656, 912-913, 931-932. ?ngel Herrero ha desarrollado un peque?o programa inform¨¢tico para calcular parejas de n¨²meros elegantes consecutivos y nos ofrece el listado hasta el n¨²mero 10.000. Y Miguel ?ngel Berm¨²dez ha calculado parejas hasta algo m¨¢s del 200.000.

Pero no hace falta tener como inicio una pareja de n¨²meros elegantes consecutivos, basta por ejemplo fijarnos en los n¨²meros elegantes 10=1^2+3^2 y 13=2^2+3^2, para generar familias de parejas de n¨²meros elegantes consecutivos, como por ejemplo 1111111111-1111111112, 10111111111-10111111112, 100111111111-100111111112... como hacen Tito Eliatron, Gisela Pujol o Jes¨²s Jimmy Pejendino.

Algunos otros m¨¦todos similares a estos, algunos tan simples y otros algo m¨¢s complicados, aparecen tambi¨¦n entre las respuestas enviadas. Destacamos algunas de ellas. Para empezar, algunas personas, como Fabio Sarmiento, Miquel Garriga y ?ngel Alonso; han estudiado el comportamiento de la sucesi¨®n asociada a cada n¨²mero en la que cada elemento est¨¢ definido como la suma de los cuadrados de las cifras del elemento anterior. Recordemos que entonces para el n¨²mero 2, la sucesi¨®n asociada es 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, y a partir de aqu¨ª la sucesi¨®n es c¨ªclica, por eso el n¨²mero 2 no es un n¨²mero elegante; o para el n¨²mero 7 es 7, 49, 97, 130, 10, 1, y se para en 1, luego el 7 es elegante. Y han observado que esos dos comportamientos que acabamos de mostrar son los dos ¨²nicos que existen, el primero para los n¨²meros no elegantes cuya sucesi¨®n asociada acaba siempre en el ciclo del 4 y el segundo para los n¨²meros elegantes, que se para en el 1.

Otra respuesta interesante se la debemos a Salvador Jover Sagarra, quien adem¨¢s de resolver el desaf¨ªo, nos ofrece un par de joyas: cuatro n¨²meros elegantes consecutivos, a saber, 7839, 7840, 7841, 7842; un cuadrado m¨¢gico de n¨²meros elegantes:

2112, 4471, 3296;

4477, 3293, 2109;

3290, 2115, 4474.

Jos¨¦ Reinaldo Mart¨ªnez nos env¨ªa tambi¨¦n tres n¨²meros elegantes consecutivos, 1880, 1881 y 1882; cuatro n¨²meros elegantes consecutivos, 7839, 7840, 7841 y 7842; y cinco n¨²meros elegantes consecutivos: 44488, 44489, 44490, 44491 y 44492.

Pero, sin lugar a dudas, la respuesta m¨¢s completa se la debemos a Alfonso P¨¦rez Arnal, que empieza ofreciendo una soluci¨®n sencilla a partir del par 31-32; busca otras parejas con diferentes m¨¦todos para ofrecer m¨¢s soluciones; estudia el comportamiento de la sucesi¨®n asociada a cada n¨²mero, demostrando que efectivamente solo hay dos comportamientos posibles, el ciclo del 4 (n¨²meros no elegantes) y que se estacione en el 1 (n¨²meros elegantes); analiza algunas propiedades de los n¨²meros elegantes; analiza la existencia de tr¨ªos de n¨²meros elegantes consecutivos, cuartetos y quintetos -existen 2.233 parejas entre 1 y 100.000; 96 tr¨ªos, donde los primeros son (1880, 1881, 1882), (4780, 4781, 4782), (4870, 4871, 4872), (7480, 7481, 7482); 14 cuartetos, donde los primeros son (7839, 7840, 7841, 7842), (8739, 8749, 8741, 8742), (11248, 11249, 11250, 11251); y 1 quinteto: (444888, 44489, 44490, 44491, 44492)-; estudia cu¨¢l es el porcentaje de elegancia del conjunto de los n¨²meros naturales hasta el 100.000 y, por ¨²ltimo, observa que:

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 10.000}: 14,42%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 20.000}: 15,19%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 30.000}: 15,46%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 40.000}: 15,22%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 50.000}: 15,25%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 60.000}: 15,15%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 70.000}: 14,75%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 80.000}: 14,70%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 90.000}: 14,55%

Porcentaje de n¨²meros elegantes en {1, 2, ..., 100.000}: 14,38%

El jueves plantearemos un nuevo reto.

N¨²meros elegantes

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