N¨²meros bonitos, n¨²meros feos

Con motivo del sorteo de la Loter¨ªa de Navidad, recuperamos los desaf¨ªos matem¨¢ticos, una iniciativa con la que EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola celebraron el a?o pasado el centenario de esta instituci¨®n. En esta ocasi¨®n ser¨¢ solo uno, as¨ª que Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y vicepresidente de la RSME, presenta el Desaf¨ªo Extraordinario de Navidad¡­

Entre los acertantes se sortear¨¢ una biblioteca matem¨¢tica como la que ofreci¨® EL PA?S en el quiosco durante 2011. El ganador recibir¨¢, adem¨¢s, por cortes¨ªa de la RSME el libro 'Desaf¨ªos Matem¨¢ticos', una publicaci¨®n de SM en la que se recogen los 40 desaf¨ªos matem¨¢ticos que ofrecimos en la web semana a semana. Manda tu respuesta antes de las 00.00 horas del s¨¢bado 22 de diciembre (la medianoche del viernes al s¨¢bado, hora peninsular espa?ola) a problemamatematicas@gmail.com y participa en el sorteo.

A continuaci¨®n, para aclarar dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, a?adimos el enunciado del problema por escrito:

Desde el a?o 2011 en la Loter¨ªa Navidad se sortean los premios entre los cien mil n¨²meros que van del 00000 al 99999 (en los d¨¦cimos los n¨²meros siempre se escriben con cinco cifras). Aunque todos los n¨²meros tienen exactamente las mismas posibilidades de resultar premiados, con frecuencia se habla de n¨²meros bonitos y n¨²meros feos. Como es una valoraci¨®n est¨¦tica, que un n¨²mero sea bonito o feo depende de los gustos de cada uno.

En este caso un n¨²mero de loter¨ªa nos parecer¨¢ bonito si cumple exactamente una, y solamente una, de estas tres condiciones:

?a) es divisible entre 5,

b) da resto 2 al dividirlo entre 7,

c) la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Por ejemplo el 00037 es bonito porque cumple la condici¨®n b pero no las otras dos; sin embargo, el 00324 es feo, ya que cumple las condiciones b y c. De igual forma, podr¨ªamos decir que el 00041 y el 00450 son horribles. El primero, porque no cumple ninguna de las tres condiciones; y el segundo, porque es un exagerado y cumple las tres.

El desaf¨ªo que se propone es decidir cu¨¢ntos de los n¨²meros que participan en el sorteo de Loter¨ªa de Navidad (recordad, del 00000 al 99999) son bonitos seg¨²n el criterio expresado anteriormente.

OBSERVACIONES IMPORTANTES. Puesto que es muy sencillo resolver el desaf¨ªo con un ordenador (y por supuesto pod¨¢is usarlo para inspiraros), la soluci¨®n que envi¨¦is debe?incluir un razonamiento y adem¨¢s hay que utilizar s¨®lo herramientas que estuviesen a disposici¨®n de los ciudadanos que asistieron al primer sorteo de loter¨ªa celebrado en C¨¢diz el 4 de marzo de 1812, hace ahora 200 a?os. Haremos, eso s¨ª, una excepci¨®n: no deb¨¦is enviarnos las soluciones escritas con pluma de ganso sino por correo electr¨®nico.

NOTA FINAL. Hemos cerrado los comentarios de esta noticia para impedir que deis pistas o, directamente, la soluci¨®n. ?Todos a pensar!