As¨ª ser¨ªa la ciudad de Dido

Mari Luz Garc¨ªa Escamilla, gestora del Posgrado en Matem¨¢ticas de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, resuelve el segundo desaf¨ªo matem¨¢tico que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aqu¨ª el v¨ªdeo).?Una vez realizado el sorteo entre las respuestas correctas, de las 730 recibidas, el ganador de la colecci¨®n de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Ra¨²l S¨¢ez, quien trabaja como analista de informaci¨®n en una compa?¨ªa de seguros y reside en Alcobendas (Madrid).

Para evitar confusiones y en atenci¨®n tambi¨¦n a nuestros lectores sordos incluimos la soluci¨®n por escrito a continuaci¨®n:

La respuesta es que Dido debe colocar la cuerda formando un arco de circunferencia y, dado que 45¡ã es un octavo de 360¡ã, el arco ser¨¢ un octavo de circunferencia. Primero vamos a argumentar por qu¨¦ ¨¦sta es la mejor soluci¨®n y despu¨¦s calcularemos el ¨¢rea del sector circular.

Si pudi¨¦semos colocar la cuerda de otra forma distinta al arco de circunferencia de forma que abarc¨¢semos una ¨¢rea mayor, reflejando la superficie tres veces como muestra la figura de abajo tendr¨ªamos una cuerda que abarca una superficie mayor que la del semic¨ªrculo en las condiciones del problema de Dido simplificado que pon¨ªamos como ejemplo, lo cual es imposible.

Para calcular el ¨¢rea, empezamos por calcular el radio R del octavo de circunferencia. Recordemos que la longitud de la cuerda es un kil¨®metro, como muestra esta figura

Por tanto, teniendo en cuenta la f¨®rmula para calcular el per¨ªmetro de una circunferencia, tenemos que

Una vez conocido el valor del radio, ya podemos calcular el ¨¢rea del sector circular. As¨ª, el ¨¢rea m¨¢xima de la ciudad que Dido podr¨ªa haber construido en el cabo es de

Y esa es la soluci¨®n que busc¨¢bamos: la ciudad que construir¨ªa Dido tendr¨ªa un ¨¢rea aproximada de 0,64 kil¨®metros cuadrados.