Detectius matem¨¤tics per destapar fraus a la Loteria de Nadal

Encara que tothom hi acabi jugant, en el fons sabem que ¨¦s molt poc probable guanyar la loteria. En concret, a la Loteria de Nadal, comprant un sol bitllet es t¨¦ una probabilitat d'1 entre 100.000 de tenir el n¨²mero guanyador. Com explicava el matem¨¤tic de la Universitat de Victoria (Canad¨¤) Florin Diacu en un article anterior a EL PA?S, ¨¦s molt m¨¦s f¨¤cil que t'atropelli un cotxe. Comprant m¨¦s n¨²meros, les possibilitats de guanyar augmenten, per¨° el creixement de la possibilitat de ser el guanyador ¨¦s m¨¦s lent que no pas la inversi¨® que requereix: comprar la sort resulta molt car.

Encara ¨¦s m¨¦s ins¨°lit que et toqui dues vegades. Casos com el de Carlos Fabra, expresident del PP de Castell¨®?i expresident de la diputaci¨®, que va afirmar que havia guanyat almenys quatre vegades la Loteria de Nadal, sumant 2,2 milions d'euros en premis grans, entre els anys 2000 i 2011, s¨®n poc probables. Per resultar premiat tantes vegades consecutives, hi has de jugar molt. El 2014 un grup d'estad¨ªstics i probabilistes nord-americans, en col¡¤laboraci¨® amb un periodista d'investigaci¨®, van establir una cota m¨ªnima de la despesa del jugador fent servir t¨¨cniques matem¨¤tiques de l'anomenada investigaci¨® operativa, amb l'objectiu d'identificar fraus en el joc. Distingien dos tipus de sort: ¡°plausible¡± i ¡°no plausible¡±.

En concret, van estudiar els casos de deu persones que asseguraven que havien guanyat m¨¦s de 80 vegades m¨¦s de 600 d¨°lars a la Loteria de Florida, que s¨®n els premis dels quals es t¨¦ registre. El que m¨¦s n'acumulava deia que havia guanyat 252 vegades, i havia sumat un total de 719.000 d¨°lars. Per descomptat, la situaci¨® era cridanera, per¨° buscaven proves matem¨¤tiques que confirmessin la sospita, perqu¨¨ en principi fins i tot els fets m¨¦s estranys, com el de Fabra, poden succeir. ¡°Alg¨² que assegura que ha guanyat diversos premis seguits no ha d'estar mentint necess¨¤riament¡±, asseguren en l'article. ?s possible que estiguin gastant molts diners en loteria i tinguin una mica de sort; de fet, aquesta ¨¦s la il¡¤lusi¨® que venen els sorteigs: pots comprar un sol tiquet i esdevenir multimilionari.

¡°Alg¨² que assegura haver guanyat diversos premis seguits no ha d¡¯estar mentint necess¨¤riament¡±

No obstant aix¨°, habitualment no ¨¦s aix¨ª. Per identificar matem¨¤ticament el crim, en primer lloc es van preguntar: durant quant de temps pot seguir guanyant un jugador? Aix¨° es relaciona amb l'anomenada esperan?a matem¨¤tica, que ve donada per una f¨®rmula que dep¨¨n de la probabilitat del joc. Per exemple, si en una rifa de 200 n¨²meros, cada un es ven per tres euros, i el premi ¨¦s una bicicleta valorada en 300 euros, l'esperan?a de cada tiquet ¨¦s d'1,5. No ¨¦s el valor que es pot obtenir (de fet, cada n¨²mero nom¨¦s pot valer 0 o 300), sin¨® m¨¦s aviat la mitjana dels valors de tots els bitllets. A m¨¦s, ¨¦s una pista del que passar¨¤ si es juga durant molt de temps al mateix sorteig. Quan l'esperan?a del valor del bitllet (el guany mitj¨¤ menys el seu preu) ¨¦s negativa, com acostuma a passar en gaireb¨¦ tots els sorteigs, el jugador acabar¨¤ perdent diners.

En l'estudi de la Loteria de Florida els investigadors aplicaven aquesta esperan?a, a m¨¦s de la llei dels grans n¨²meros, per afirmar que, amb total probabilitat, abans o despr¨¦s el jugador es quedar¨¤ sense diners. Per¨° quant podr¨¤ jugar fins a perdre-ho tot? Suposant que disposa d'un capital de partida S i que nom¨¦s compra bitllets d'un tipus una vegada i una altra, invertint els seus guanys en el joc, els investigadors van proposar una f¨®rmula per determinar el nombre de premis que es podrien guanyar abans de perdre, en relaci¨® amb la probabilitat de guanyar en el joc, els diners inicials, i altres variables.

Per¨° aquesta f¨®rmula per si sola no val per tenir una certesa estad¨ªstica del frau. Amb aquesta informaci¨® estudiaven, sobre el nombre total d'apostes, quin ¨¦s el m¨ªnim de diners que hauria d'apostar el jugador sospit¨®s de manera que si tots els residents de Florida gastessin els mateixos diners, les possibilitats que alg¨² pogu¨¦s guanyar el mateix nombre de vegades que el jugador en q¨¹esti¨® fossin encara menors d'un sobre un mili¨®. Si aquesta quantitat ¨¦s massa gran en comparaci¨® dels mitjans de qu¨¨ disposa el jugador, llavors existeix evid¨¨ncia estad¨ªstica d'estafa. Van concloure que dos dels deu sospitosos podrien simplement haver tingut sort, per¨° la resta estaven estafant. La investigaci¨® matem¨¤tica va casar amb total perfecci¨® amb la investigaci¨® criminal que es va fer despr¨¦s. ¡°El tipus de coincid¨¨ncies que s'identifiquen en l'article van ser analitzades per detectius, mostrant que aquesta gent estava, en efecte, cometent crims¡±, assenyala Skip Garibaldi, catedr¨¤tic del departament de matem¨¤tiques d'Emory i director associat de l'Institut de Matem¨¤tiques Pures i Aplicades de l'UCLA. Aquest delicte consisteix a comprar bitllets de loteria premiats, per un valor una mica superior al guanyador original, i ¨¦s un m¨¨tode habitual utilitzat per blanquejar diners no justificats.

?gata A. Tim¨®n ¨¦s membre de l'Institut de Ci¨¨ncies Matem¨¤tiques (ICMAT)