Policubos

Sobre la relaci¨®n del tetromin¨® O con el juego de la vida de Conway, mencionada la semana pasada, Salva Fuster ha enviado una interesante reflexi¨®n:

¡°El hecho de no tener variaci¨®n y que est¨¦n vivas ¨²nicamente las casillas del tetromin¨® O de manera indefinida no lo convierte en ¡°no vida¡±. Si pint¨¢semos cada generaci¨®n de un color (o quiz¨¢ alternando entre dos colores) se ver¨ªa una variaci¨®n. Me recuerda a una situaci¨®n de equilibrio qu¨ªmico en el que para una cierta cantidad de dos sustancias, parece que no est¨¦ ocurriendo nada, a pesar de que pueda estar produci¨¦ndose un intercambio continuo entre ambas sustancias (aunque en la realidad hay peque?as variaciones sobre el equilibrio). En definitiva, quiz¨¢ pueda pensarse que ¡°vida¡± podr¨ªa ser contrario a ¡°est¨¢tico¡±, pero no tiene por qu¨¦ ser as¨ª¡±. (Ver comentario 25 de Poliformas).

La propiedad que comparten los tri¨¢ngulos equil¨¢teros, los cuadrados y los hex¨¢gonos regulares es que son los ¨²nicos pol¨ªgonos regulares que pueden teselar el plano, pues son los ¨²nicos cuyos ¨¢ngulos interiores son divisores de 360? (60? el del tri¨¢ngulo equil¨¢tero, 90? el del cuadrado, 120? el del hex¨¢gono).

Poliomin¨®s ¡°engrosados¡±

Obviamente, los poliomin¨®s reales no son figuras planas, sino piezas de madera o pl¨¢stico con un cierto grosor. Si aumentamos dicho grosor hasta hacerlo igual a la longitud de los lados de los cuadrados, estos se convierten en cubos, y el poliomin¨®, en un policubo, un cuerpo tridimensional formado por un cierto n¨²mero de cubos pegados entre s¨ª por algunas de sus caras. De este modo, el domin¨® dar¨ªa lugar a un bicubo y los dos tromin¨®s, a sendos tricubos distintos (I y V), que son todos los posibles. ?Ocurre lo mismo con los tetromin¨®s, o hay alg¨²n tetracubo que no se puede obtener por mero ¡°engrosamiento¡± de un tetromin¨®? ?Cu¨¢ntos pentacubos distintos podemos formar acoplando entre s¨ª cinco cubos iguales de todas las maneras posibles?

Tambi¨¦n se suelen denominar policubos o multicubos los sets de peque?os cubos encajables que sirven para formar los policubos geom¨¦tricos antes definidos. Y es muy conveniente hacerse con una caja de estos multicubos (se encuentran con facilidad en las tiendas de juegos) para abordar los problemas antes planteados y otros similares, ya que las figuras tridimensionales de cierta complejidad no son f¨¢ciles de representar en una hoja de papel. Problemas como los siguientes:

Es evidente que con 9 tricubos I podemos formar un cuco de 3 x 3 x 3; pero ?de cu¨¢ntas maneras distintas podemos hacerlo?

?Y con 9 tricubos V, tambi¨¦n podemos formar un cubo de 3 x 3 x 3?

Al hablar de formar cubos de 3 x 3 x 3 con policubos, es inevitable mencionar el cubo Soma, un famoso rompecabezas inventado por Piet Hein en los a?os treinta del siglo pasado y que alcanz¨® gran popularidad. Se trata de formar un cubo de 3 x 3 x 3 con el tricubo V y seis tetracubos distintos.

Las piezas de los cubos Soma, Bedlam y Conway tambi¨¦n se prestan a construir diversos ortoedros y otros cuerpos geom¨¦tricos, y compensar¨¢n con largas horas de entretenimiento (o desesperaci¨®n) a quienes se hagan con ellas

En la misma l¨ªnea, aunque bastante m¨¢s dif¨ªcil de resolver, hay que mencionar tambi¨¦n el cubo de Bedlam, un rompecabezas inventado por el matem¨¢tico brit¨¢nico Bruce Bedlam, que consiste en construir un cubo de 4 x 4 x 4 con 13 piezas polic¨²bicas: un tetracubo (el L) y 12 pentacubos.

Y, para terminar, el consabido m¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: el cubo de Conway, de 5 x 5 x 5, del que ya nos ocupamos en su d¨ªa junto con el Soma.

Huelga se?alar que las piezas de los cubos Soma, Bedlam y Conway tambi¨¦n se prestan a construir diversos ortoedros y otros cuerpos geom¨¦tricos, y compensar¨¢n con largas horas de entretenimiento (o desesperaci¨®n) a quienes se hagan con ellas.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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