La paradoja de Cantor

Una manera de ¡°resolver¡± la famosa paradoja del barbero, mencionada la semana pasada, es decir, sencillamente, que tal barbero no puede existir porque se le suponen actuaciones contradictorias, del mismo modo que no puede existir un barbero que sea a la vez alto y bajo. Pero, como dec¨ªa Hegel, una paradoja es una verdad cabeza abajo, que nos obliga a revisar conceptos y planteamientos que cre¨ªamos claros y no lo son tanto. En el caso de la teor¨ªa de conjuntos, lo que puso en evidencia Russell con sus paradojas fue que el concepto intuitivo de conjunto como mera ¡°colecci¨®n de cosas¡± es poco riguroso desde el punto de vista matem¨¢tico.

Mi versi¨®n favorita de este tipo de paradojas es la del cat¨¢logo imposible. Llamemos autorreferentes (AR) a los libros que se mencionan a s¨ª mismos; por ejemplo, en el Quijote se habla del Quijote, y muchos libros llevan un pr¨®logo o un texto de contracubierta en el que se habla del propio libro. Y llamemos no autorreferentes (NAR) a los libros en los que no aparece ninguna menci¨®n al propio libro. Y ahora hagamos el cat¨¢logo de los libros NAR. Si dicho cat¨¢logo figura en la lista de los NAR, se menciona a s¨ª mismo, luego es AR, luego no deber¨ªa estar en el cat¨¢logo de los NAR; y si no figura en la lista de los NAR, no se menciona a s¨ª mismo, luego deber¨ªa estar en la lista de los NAR. ?Qu¨¦ pueden decir al respecto mis sagaces lectoras/es?

Conjuntos ingenuos

Pero fue el propio padre de la teor¨ªa de conjuntos, Georg Cantor, el primero en se?alar, a finales del siglo XIX, que una concepci¨®n ¡°ingenua¡± de dicha teor¨ªa llevaba a contradicciones insoslayables, como evidencia la paradoja que lleva su nombre.

Cantor demostr¨® que los n¨²meros irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los n¨²meros naturales, lo que significa que la infinitud de los irracionales es de orden superior a la de los naturales. Esta idea de un infinito ¡°m¨¢s infinito¡± que otro caus¨® un profundo rechazo entre algunos matem¨¢ticos de la ¨¦poca, rechazo que en el caso de Leopold Kronecker se convertir¨ªa en aut¨¦ntico odio (lleg¨® a acusar a Cantor de corromper a la juventud con sus ideas matem¨¢ticas).

Pero los infinitos de orden superior, que Cantor denomin¨® ¡°transfinitos¡±, supusieron una important¨ªsima contribuci¨®n al desarrollo de las matem¨¢ticas que todos acabaron aceptando. Y no solo los n¨²meros irracionales son ¡°innumerables¡±; por ejemplo, el conjunto de los subconjuntos finitos del conjunto de los n¨²meros naturales es numerable (?puedes demostrarlo?); pero el conjunto de todos sus subconjuntos, finitos e infinitos, denominado ¡°conjunto potencia¡±, no lo es.

Esta idea se generaliza en el teorema de Cantor, que demuestra que el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito es un infinito de orden superior al del conjunto de partida.

El conjunto de todos los conjuntos est¨¢ incluido en s¨ª mismo (puesto que es un conjunto), luego su infinitud, seg¨²n el teorema de Cantor, es mayor que la suya propia, lo cual es absurdo

Y esta es la paradoja: el conjunto de todos los conjuntos est¨¢ incluido en s¨ª mismo (puesto que es un conjunto), luego su infinitud, seg¨²n el teorema de Cantor, es mayor que la suya propia, lo cual es absurdo. Sin pretender quitarle m¨¦rito a Russell, justo es decir que se limit¨® a versionar y difundir la paradoja de Cantor.

Y hablando de conjuntos dentro de otros conjuntos, me he acordado de un bonito problemilla que propongo a mis sagaces lectoras/es:

Tenemos dos cubos, uno de 5 litros y otro de 3, y acceso a un grifo. ?C¨®mo podemos tener 4 litros de agua sin derramar nada ni disponer de un recipiente auxiliar?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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