La serie que cambi¨® el mundo

Joseph Fourier naci¨® en 1768 dentro de una familia humilde de Auxerre (Francia) y a la edad de 10 a?os se qued¨® hu¨¦rfano. Eso no le impidi¨® contribuir de forma importante a la egiptolog¨ªa, ostentar altos cargos pol¨ªticos o escribir el primer texto cient¨ªfico sobre el efecto invernadero, adem¨¢s de convertirse en uno de los matem¨¢ticos m¨¢s c¨¦lebres de la historia.

En 1822 public¨® la obra Teor¨ªa anal¨ªtica del calor. En ella dedujo una ecuaci¨®n en derivadas parciales para describir la evoluci¨®n de la temperatura en un cuerpo s¨®lido y dio un m¨¦todo para resolverla que hoy en d¨ªa se siguen aprendiendo en las carreras de ciencias e ingenier¨ªas. En uno de los pasos de su m¨¦todo, Fourier afirmaba que toda funci¨®n peri¨®dica ¨Cque son las funciones que repiten su valor cada cierto intervalo¨C pod¨ªa escribirse como una serie de funciones ondulatorias: senos y cosenos. Adem¨¢s, aport¨® la expresi¨®n exacta de los coeficientes de la serie ¨Clos valores que multiplican a cada seno y coseno¨C. Actualmente esta representaci¨®n se conoce como serie de Fourier de una funci¨®n.

Su afirmaci¨®n estuvo inspirada por trabajos anteriores de Daniel Bernoulli, Leonhard Euler o Jean Le Rond d¡¯Alambert, y por la confirmaci¨®n de que era cierta para funciones conocidas que aparec¨ªan en fen¨®menos naturales. Sin embargo, la ausencia de una demostraci¨®n con rigor matem¨¢tico fue uno de los motivos por los que el texto, terminado en su primera versi¨®n en 1807, tard¨® 15 a?os en ser aceptado para su publicaci¨®n.

Numerosos matem¨¢ticos de las siguientes generaciones intentaron entender hasta qu¨¦ punto era cierta la representaci¨®n de las series de Fourier. El objetivo era saber qu¨¦ propiedades de una funci¨®n permit¨ªan asegurar que pod¨ªa ser expresada de esa manera¨Ces decir, determinar las condiciones suficientes¨C y qu¨¦ propiedades cumpl¨ªan las funciones que ten¨ªan esa representaci¨®n ¨Cidentificar las condiciones necesarias¨C. Esa b¨²squeda con motivaciones puramente matem¨¢ticas propici¨® el desarrollo de teor¨ªas fundamentales, como la de integraci¨®n de Riemann o Lebesgue, o la de conjuntos de Cantor, as¨ª como el significado mismo de funci¨®n.

No es exagerado decir que esta cuesti¨®n fue uno de los grandes motores de las matem¨¢ticas del siglo XIX, e incluso 200 a?os m¨¢s tarde lo sigue siendo. As¨ª, en la actualidad una de las ¨¢reas que est¨¢ dando resultados de gran impacto es la llamada teor¨ªa de restricci¨®n de Fourier, que se propone comprender cu¨¢ndo la versi¨®n continua de la serie de Fourier ¨Cla llamada transformada de Fourier¨C, en la que tomamos una integral en vez de una suma y as¨ª sirve para funciones no peri¨®dicas, est¨¢ bien definida cuando la restringimos a superficies como la esfera o el cono. El estudio de esta cuesti¨®n, aunque pueda parecer extremadamente espec¨ªfica y remota de otras ¨¢reas, ha interesado a muchos matem¨¢ticos, entre ellos tres galardonados con la medalla Fields, y ha permitido dar soluci¨®n a problemas de ¨¢reas tan dispares como las ecuaciones dispersivas no lineales, la combinatoria, la geometr¨ªa algebraica o la teor¨ªa de n¨²meros.

Este es uno de los casos en la historia de las matem¨¢ticas en el que cuestiones que surgieron por el puro deseo de entender fueron fundamentales a?os despu¨¦s para otras ¨¢reas cient¨ªficas

A su vez, el desarrollo de la teor¨ªa sobre las series de Fourier surti¨® de herramientas precisas a las ciencias e ingenier¨ªas. Cada uno de los senos y cosenos de la serie corresponde a una frecuencia ¨Cpi¨¦nsese en ondas con distinto n¨²mero de repeticiones por unidad de tiempo¨C, y entender c¨®mo se comporta una funci¨®n a trav¨¦s de las distintas frecuencias es fundamental en nuestro mundo actual para la transmisi¨®n de se?ales o la reconstrucci¨®n de im¨¢genes por ultrasonido, entre otras aplicaciones. La transformada de Fourier tambi¨¦n es b¨¢sica en la mec¨¢nica cu¨¢ntica, ya que su uso hace posible pasar de una forma a otra de representar el estado de una part¨ªcula ¨Ces decir, pasar del espacio de posiciones al espacio de momentos y viceversa¨C. Cabe destacar que de los cuatro galardonados este a?o con el premio Princesa de Asturias de Investigaci¨®n Cient¨ªfica y T¨¦cnica, dos se doctoraron con trabajos sobre matem¨¢tica pura dentro del ¨¢rea llamada an¨¢lisis de Fourier, y el premio fue en reconocimiento a la teor¨ªa de ond¨ªculas, una versi¨®n refinada de las series de Fourier.

Este es uno de los casos en la historia de las matem¨¢ticas en el que cuestiones que surgieron por el puro deseo de entender fueron fundamentales a?os despu¨¦s para otras ¨¢reas cient¨ªficas. Otros ejemplos son el desarrollo de la geometr¨ªa no euclidiana que permit¨ªa que hubiera tri¨¢ngulos cuyos ¨¢ngulos no sumaran 180?, y que desemboc¨® en la geometr¨ªa riemanniana que lleg¨® a ser clave para la teor¨ªa general de la relatividad de Einstein; o la teor¨ªa de n¨²meros que se utiliza en el sistema criptogr¨¢fico de clave p¨²blica que da seguridad actualmente en internet.

En el pr¨®logo de la Teor¨ªa anal¨ªtica del calor, Fourier escribi¨® que ¡°el estudio profundo de la naturaleza es la fuente m¨¢s f¨¦rtil de descubrimientos matem¨¢ticos¡±. Sin embargo, quiz¨¢s hoy, viendo el desarrollo de las matem¨¢ticas derivadas de su afirmaci¨®n, y todas sus implicaciones, escribir¨ªa que la fuente m¨¢s f¨¦rtil de descubrimientos matem¨¢ticos y de la naturaleza es el estudio profundo de las matem¨¢ticas. Tambi¨¦n deber¨ªa convencernos a todos sobre los caminos tan impredecibles que toma la ciencia y como apostar por la investigaci¨®n pura produce f¨¦rtiles resultados.

Javier Ramos Maravall es investigador Marie Sk?odowska-Curie en el ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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