Los naipes y el azar

Si, jugando una partida de p¨®quer, el que da las cartas, tras recogerlas de la mesa las mezclara una sola vez, lo considerar¨ªamos insuficiente, pues en la mano anterior los jugadores las agruparon por valores o palos, y una sola mezcla no es suficiente para abolir ese orden; pero si las mezclara veinte veces, lo considerar¨ªamos excesivo. ?Cu¨¢l es el n¨²mero m¨ªnimo de mezclas que garantiza una distribuci¨®n aleatoria de los naipes en el seno de la baraja?

El matem¨¢tico y matemago Persi Diaconis, nuestro invitado de la semana pasada al hablar de la moneda como dado binario, lleg¨® a la conclusi¨®n de que son necesarias y suficiente 6 o 7 mezclas para devolver la aleatoriedad a una baraja ordenada, lo que, por cierto, llev¨® a modificar las normas de algunos casinos, en los que se consideraba suficiente mezclar las cartas 4 veces. Quienes deseen profundizar en el tema, pueden leer su art¨ªculo Trailing the Dovetail Shuffle to Its Lair, escrito en colaboraci¨®n con Dave Bayer, de la universidad de Columbia, y publicado en 1992 en The Annals of Applied Probability.

El art¨ªculo de Bayer y Diaconis empieza considerando un ¡°minimazo¡± formado por las 13 cartas de un solo palo y viendo lo que ocurre al mezclarlas una vez por el conocido m¨¦todo del hojeo americano o riffle, que consiste en dividir el mazo en dos partes aproximadamente iguales e ir deslizando los pulgares por las esquinas de ambas mitades para que los naipes de ambos montones se vayan intercalando de una forma lo m¨¢s homog¨¦nea posible.

Lo que ocurre en el mazo de 13 naipes tras una primera mezcla, partiendo del mazo ordenado, se muestra en el siguiente esquema:

a) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

b) A 1 2 3 4 5 6 // 7 8 9 10 J Q K

c) A-7-2-8 9-3-10-4 5-J-6-Q K

d) A 7 2 8 9 3 10 4 5 J 6 Q K

Es decir:

a) Partimos de un mazo con las cartas colocadas en orden creciente.

b) Lo dividimos en dos bloques aproximadamente iguales.

c) Mezclamos las cartas por el m¨¦todo del hojeo, con lo que nunca quedan juntas m¨¢s de dos cartas de cada semimazo.

d) En el mazo resultante a¨²n se distinguen con claridad dos secuencias crecientes.

A partir de aqu¨ª el an¨¢lisis se vuelve m¨¢s t¨¦cnico, pero sin duda resultar¨¢ interesante para los lectores con conocimientos matem¨¢ticos.

La mezcla faro

Parad¨®jicamente, un barajado excesivo y excesivamente meticuloso puede producir resultados sorprendentes y contrarios a su prop¨®sito de desordenar los naipes.

En la denominada mezcla faro o mezcla perfecta, la baraja se divide exactamente por la mitad, en dos montones iguales de 26 cartas cada uno, que al mezclarlas mediante el hojeo americano se intercalan de forma perfectamente homog¨¦nea, altern¨¢ndose una carta de cada semimazo.

Invito a mis sagaces lectoras/es a investigar, preferentemente con ayuda de una baraja (o de media, con dos palos completos, para facilitar el an¨¢lisis), lo que ocurre si aplicamos la mezcla faro varias veces seguidas partiendo de un mazo (o medio) con las cartas ordenadas por palos y en orden creciente dentro de cada palo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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