Cara, cruz o canto

En las ¨²ltimas semanas hemos hablado de los dados, sus distintos tipos, la distribuci¨®n de los n¨²meros en sus caras y las probabilidades que entran en juego (nunca mejor dicho) al lanzar un par de dados a la vez.

Como vimos, junto al dado c¨²bico de toda la vida, con las caras numeradas del 1 al 6, han surgido dados c¨²bicos at¨ªpicos, como los de Sicherman, y dados poli¨¦dricos de 4, 8, 12, 20¡­ caras, que han proliferado debido al auge de los juegos de rol. Y, desde siempre, la tradicional moneda que se lanza al aire para decidir algo ¡°a cara o cruz¡±, ha oficiado como dado de dos caras.

Pero en realidad una moneda tiene tres ¡°caras¡±: el anverso, el reverso y el canto. En la pr¨¢ctica, la probabilidad de que una moneda caiga de canto es despreciable; pero no en la teor¨ªa. En condiciones ideales (suelo perfectamente horizontal y liso, ausencia de vibraciones y microcorrientes de aire), una moneda de dimensiones convencionales podr¨ªa caer de canto del orden de una de cada 10.000 veces, aunque en el mundo real sea pr¨¢cticamente imposible.

Obviamente, la probabilidad de que una moneda cayera de canto aumentar¨ªa si las monedas fueran m¨¢s gruesas. Una moneda de 1 euro tiene 23.25 mil¨ªmetros de di¨¢metro y 2.125 mil¨ªmetros de grosor, y esta relaci¨®n de aproximadamente 10 a 1 es habitual en las monedas de uso com¨²n. ?Qu¨¦ grosor deber¨ªa tener una moneda de 1 euro para que la probabilidad de que cayera de canto no fuera despreciable?

Nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli va un paso m¨¢s all¨¢ y se pregunta qu¨¦ grosor deber¨ªa tener una moneda, en relaci¨®n con su di¨¢metro, para que la probabilidad de sacar ¡°canto¡± fuera equivalente a la de sacar cara o cruz (con lo que la ¡°moneda gorda¡± podr¨ªa servir como dado de tres caras). Ser¨ªa ingenuo pensar que para ello bastar¨ªa que la superficie lateral del cilindro-moneda fuera igual a la de sus bases, pues ni siquiera en un dado poli¨¦drico de caras desiguales la probabilidad es proporcional a la superficie. No es una cuesti¨®n puramente geom¨¦trica, sino un complejo problema de f¨ªsica.

Una soluci¨®n fermiana

Como coment¨¦ en su d¨ªa al hablar de los ¡°problemas de Fermi¡±, el gran f¨ªsico italiano era famoso por su habilidad para llegar a soluciones muy aproximadas a partir de datos insuficientes, y sol¨ªa estimular la creatividad de sus estudiantes invit¨¢ndolos a hacer lo propio. Por ejemplo, en una ocasi¨®n les pidi¨® que hicieran una estimaci¨®n razonable de cu¨¢ntos afinadores de pianos hab¨ªa en Chicago.

Aplicando el ¡°m¨¦todo de Fermi¡± al problema de la moneda gorda, podemos partir de la evidencia de que un cilindro cuya altura fuera el doble que su di¨¢metro rara vez caer¨ªa de pie al lanzarlo al aire. Por tanto, la relaci¨®n grosor-di¨¢metro de la moneda de canto equiprobable ha de estar, en principio, entre 1/10 (moneda convencional que nunca cae de canto) y 2/1 (cilindro que casi siempre cae de canto), por lo que una primera aproximaci¨®n podr¨ªa ser la moneda-cilindro de raz¨®n 1/1.

De hecho, pegando entre s¨ª ocho monedas de 5 c¨¦ntimos he fabricado una ¡°moneda gorda¡± con una relaci¨®n grosor-di¨¢metro de 3/4 (y una superficie lateral el triple que la de cada cara), y al lanzara repetidas veces obtengo una proporci¨®n de cantos similar a la de caras y cruces. Invito a mis sagaces lectoras/es a repetir el experimento con un n¨²mero creciente de monedas pegadas, y a sacar sus propias conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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