Naipes y balas

Habl¨¢bamos la semana pasada de las distintas formas de barajar las cartas, y m¨¢s concretamente del hojeo americano o riffle como la m¨¢s adecuada para garantizar la aleatoriedad de su distribuci¨®n. Parece razonable pensar que cuantas m¨¢s veces y m¨¢s meticulosamente barajemos las cartas, m¨¢s desorden introduciremos en la baraja; pero, parad¨®jicamente, no siempre es as¨ª. Como se?ala nuestro asiduo comentarista Francisco Montesinos:

¡°El m¨¦todo americano de barajar consta de dos operaciones: cortar e insertar las cartas de uno de los dos montones resultantes entre las del otro. El que baraja no siempre trata de que los montones resultantes sean iguales y nada impide que en los casos extremos un mont¨®n tenga una sola carta (o ninguna). Esta eventualidad la recoge el modelo del matemago al suponer que el n¨²mero de cartas en cualquier mont¨®n sigue una distribuci¨®n binomial. No obstante, lo m¨¢s probable es que si n es par los dos montones sean de n/2 cartas. Supongamos que se barajan 10 cartas 6 veces y que los cortes se producen con montones iguales. El resultado es (o m¨¢s exacto ser¨ªa decir puede ser) el siguiente: 123456789(10)--->162738495(10)--->186429753(10)--->198765432(10)--->159483926(10)-->135792468(10)--->123456789(10). ?Como si no hubi¨¦ramos barajado en absoluto!¡±.

De hecho, hay prestidigitadores que pueden conseguir este resultado tan contraintuitivo y devolverle a un mazo el orden que les interesa mantener aparentando barajar a conciencia.

Y pasando de las cartas a las balas, como en un t¨ªpico saloon del viejo Oeste, Francisco tambi¨¦n propuso el siguiente problema:

Dos tiradores, A y B, apuntan a un blanco y uno de ellos acierta. Se pide la probabilidad de que haya sido A sabiendo que suele acertar 3 de cada 4 disparos, mientras que B acierta solo uno de cada 4.

Es f¨¢cil liarse con las probabilidades, y, de hecho, este problema aparentemente sencillo ha suscitado un aluvi¨®n de comentarios e intrincadas elucubraciones. Por cierto, el problema recuerda un conocido cl¨¢sico ¡°de indios y vaqueros¡±:

Tres vaqueros disparan a la vez a un indio que huye a caballo. El primer tirador es bueno, y en esas circunstancias solo falla un disparo de cada seis; el segundo es mediocre, y solo acierta la mitad de las veces; y el tercero es muy malo: solo acierta una vez de cada seis. ?Qu¨¦ probabilidades tiene el indio de salir ileso?

Hasta aqu¨ª la versi¨®n habitual del problema; pero nada nos impide complicarlo un poco m¨¢s:

?Qu¨¦ probabilidad hay de que el indio sea alcanzado por una sola bala? ?Y por dos? ?Y por tres?

Supongamos que cae alcanzado por alg¨²n disparo (no sabemos si uno o varios) y el tercer vaquero, que adem¨¢s de mal tirador es un fanfarr¨®n, exclama: ¡°?Le he dado!¡±. ?Qu¨¦ probabilidades hay de que est¨¦ en lo cierto?

?Qu¨¦ probabilidad tiene el indio de salir ileso si los vaqueros, en vez de disparar una sola vez, vac¨ªan el cargador de su rev¨®lver?

Matemagia con cartas

Los trucos con cartas son innumerables, y aunque la mayor¨ªa de ellos se basan en la habilidad de quien las maneja, hay algunos de base estrictamente matem¨¢tica. He aqu¨ª uno de los m¨¢s conocidos:

El matemago toma 21 cartas cualesquiera de una baraja y se las entrega a un espectador para que las baraje y elija mentalmente una de ellas. Luego las va colocando una a una sobre la mesa, boca arriba, en tres montones iguales, y le pide al espectador que le diga en qu¨¦ mont¨®n est¨¢ la carta elegida. Recoge los tres montones, colocando en medio el de la carta pensada, y repite la operaci¨®n dos veces m¨¢s, tras lo cual identifica la carta en cuesti¨®n.

Invito a mis sagaces lectoras/es a repetir el truco y a descubrir su fundamento matem¨¢tico.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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