El enigm¨¢tico Dr. Matrix

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada cu¨¢l es la cadena m¨¢s larga que se puede construir con tres d¨ªgitos -1, 2 y 3- sin repetir ninguno ni ninguna secuencia de d¨ªgitos de forma consecutiva. La respuesta es que no hay l¨ªmite de longitud para tal cadena, pues a partir de la sucesi¨®n de Thue podemos obtener f¨¢cilmente una cadena infinita.

Como se?ala nuestro usuario destacado Francisco Montesinos, es parad¨®jico que una sucesi¨®n en la que cada t¨¦rmino incluye al anterior ¡ªy basada, por tanto, en repeticiones recurrentes¡ª sirva de punto de partida para construir una cadena sin repeticiones. Parad¨®jico, pero cierto. Observemos las dos secuencias:

01101001¡­

1321201¡­

?C¨®mo se pasa de la primera sucesi¨®n -la de Thue- a la segunda? Muy sencillo (muy sencillo hacerlo, aunque no tanto descubrirlo): vamos formando todas las parejas consecutivas de d¨ªgitos contiguos de la sucesi¨®n de Thue: 01, 11, 10, 01, 10, 00, 01¡­ y luego efectuamos la siguiente sustituci¨®n: cada 01 lo remplazamos por un 1, cada 10 por un 2, cada 11 por un 3 y cada 00 por un 0. Dejo a mis sagaces lectoras/es la tarea, m¨¢s sencilla, de pasar de esta cadena de cuatro s¨ªmbolos -0, 1, 2 y 3- a una de tres que cumpla la condici¨®n requerida, as¨ª como la aplicaci¨®n de dicha cadena a una estrategia que permita eludir la regla ajedrec¨ªstica de las tres repeticiones.

El prol¨ªfico matem¨¢tico h¨²ngaro Paul Erd?s propuso una variante del problema anterior en la que tambi¨¦n se consideran iguales los bloques que contienen los tres d¨ªgitos en la misma proporci¨®n; as¨ª, 00122 = 21020, porque en ambos bloques hay un 1, dos 2 y dos 0. ?Cu¨¢l es la cadena m¨¢s larga que podemos construir con esta nueva restricci¨®n?

En el extremo opuesto de las cadenas de infinitos d¨ªgitos sin repeticiones, las que son pura repetici¨®n mon¨®tona, como:

1/3 = 0,3333333¡­

Cuando, como en este caso, inmediatamente despu¨¦s de la coma se repite indefinidamente el mismo d¨ªgito o bloque de d¨ªgitos, el n¨²mero se denomina peri¨®dico puro, y en el colegio aprendimos la forma de convertirlo en una fracci¨®n; as¨ª:

0,327327327¡­ = 327/999

En el numerador escribimos el per¨ªodo -es decir, el bloque que se repite- y en el denominador tantos 9 como d¨ªgitos hay en dicho bloque. Pero ?c¨®mo se demuestra esta igualdad? (Sin efectuar la divisi¨®n, se entiende).

M¨¢s Matrix

La semana pasada mencionaba, en relaci¨®n con el problema de los tres d¨ªgitos, al Dr. Matrix, un personaje creado por Martin Gardner (obs¨¦rvese que Matrix es una met¨¢tesis de Martin con la n final convertida en una enigm¨¢tica x). Veamos otro de los acertijos planteados por este misterioso numer¨®logo (en el buen y literal sentido del t¨¦rmino: experto en n¨²meros; nada que ver con las supuestas pr¨¢cticas adivinatorias que usurpan el nombre).

El n¨²mero 153 tiene la curiosa propiedad de ser igual a la suma de los cubos de sus d¨ªgitos: 153 = 1 + 125 + 27. ?Hay m¨¢s n¨²meros con esta propiedad? (El caso trivial del 1 no cuenta).

Los mejores acertijos dan lugar a variantes y nuevas propuestas, y este es uno de ellos, pues nos invita a generalizar la pregunta a otras potencias:

?Hay alg¨²n n¨²mero que sea igual a la suma de los cuadrados de sus d¨ªgitos?

?Hay alg¨²n n¨²mero que sea igual a la suma de las cuartas potencias de sus d¨ªgitos?

?Hay alg¨²n n¨²mero que sea igual a la suma de las quintas potencias de sus d¨ªgitos?

Y as¨ª sucesiva e indefinidamente.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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