Axiomas, las reglas del juego de las matem¨¢ticas

Un requisito indispensable para poder disfrutar jugando al ajedrez ¨Co al backgammon, al go o a las damas¨C es interiorizar las reglas y los movimientos b¨¢sicos de las piezas. Salvando las distancias, algo semejante sucede con las matem¨¢ticas, cuyas normas de base se llaman axiomas o postulados. Estos son principios fundamentales que permiten desarrollar las matem¨¢ticas, dentro de un marco ontol¨®gico coherente. La diferencia fundamental entre los axiomas y los resultados ¨Co teoremas¨C es que ¨¦stos ¨²ltimos se obtienen a partir de los axiomas usando un n¨²mero finito de deducciones l¨®gicas, mientras que de los axiomas se asume impl¨ªcitamente su veracidad, sin tratar de demostrarlos.

Contrariamente a la opini¨®n com¨²n de que todo est¨¢ prescrito en matem¨¢ticas, distintas elecciones de axiomas pueden dar lugar a matem¨¢ticas distintas. Entonces, ?c¨®mo se eligen esos cimientos sobre los que construiremos el pensamiento matem¨¢tico? ?Hay libertad al escogerlos? Lo cierto es que la selecci¨®n no es ni fortuita ni aleatoria; hay dos caracter¨ªsticas fundamentales que destacan de una buena elecci¨®n. Por un lado, deben ser leyes naturales e intuitivas que representen el car¨¢cter universal de las matem¨¢ticas, pero, por otro, tambi¨¦n deben ser maleables y lo suficientemente gen¨¦ricas para permitirnos tratar universos matem¨¢ticos inimaginables. En particular, si un axioma puede ser demostrado a partir de los otros, es redundante e innecesario.

Como toda regla o ley, los axiomas no est¨¢n exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matem¨¢tica

Sin embargo, como toda regla o ley, los axiomas no est¨¢n exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matem¨¢tica. Buen ejemplo de ello fue lo que ocurri¨® con los postulados que plante¨® Euclides para desarrollar la geometr¨ªa, en concreto, con el axioma de las paralelas: por un punto exterior a una recta dada, pasa una ¨²nica recta paralela. El mismo Euclides evit¨® usarlo en las primeras proposiciones. Aunque este enunciado parezca evidente e indiscutible, muchos matem¨¢ticos trataron, durante siglos, de demostrar que era una consecuencia de los otros cuatro axiomas y, por tanto, que era superfluo. Sin embargo, del mismo modo que el ajedrez dar¨ªa lugar a un juego completamente distinto si quit¨¢semos el caballo del juego, al eliminar el quinto postulado de Euclides apareci¨® una nueva geometr¨ªa, llamada hiperb¨®lica, calificada de imaginaria por sus descubridores J¨¢nos Bolyai y Nikolai Lobachevsky en el siglo XIX y utilizada d¨¦cadas despu¨¦s en la teor¨ªa de la relatividad general y la cosmolog¨ªa.

Otro ejemplo de revisionismo de axiomas y metodolog¨ªas matem¨¢ticas dio lugar al nacimiento de la disciplina de la l¨®gica matem¨¢tica. La llamada crisis fundacional de las matem¨¢ticas, originada a comienzos del siglo XX, puso en tela de juicio los fundamentos de base de la disciplina, a ra¨ªz de paradojas como la de Berry, propuesta por Bertrand Russell. Esta plantea lo siguiente: puesto que nuestro vocabulario es finito, limita cu¨¢ntos objetos podemos definir usando menos de doce palabras. As¨ª, por ejemplo, habr¨¢ n¨²meros naturales que no podemos describir usando menos de 13 palabras. Entonces, consideramos N, el ¡°menor n¨²mero natural que no podemos describir usando menos de trece palabras¡±. Sin embargo, para describir N hemos usado solo 12 palabras (las que est¨¢n entrecomilladas), lo cual nos conduce a una contradicci¨®n. Una soluci¨®n a esta paradoja, o falacia de c¨ªrculo vicioso, consiste en evitar construir colecciones ¨Co conjuntos¨C de elementos a partir de una frase autoreferencial.

?Qu¨¦ axiomas permiten, por tanto, construir conjuntos? ?Es posible definir intr¨ªnsecamente las nociones de conjuntos y elementos de forma natural e intuitiva? Varios matem¨¢ticos propusieron a principios del siglo XX diversos tratamientos axiom¨¢ticos para intentar formalizar la teor¨ªa de conjuntos, del mismo modo que hizo Euclides con la geometr¨ªa, con la esperanza de demostrar la coherencia interna de las matem¨¢ticas de forma autosuficiente. Pero, a principios del 1930, el segundo teorema de incompletitud de Kurt G?del supuso un jarro de agua fr¨ªa a la b¨²squeda, ya que muestra que no existe un formalismo global de la teor¨ªa de conjuntos capaz de verificar que no hay contradicciones internas.

El axioma de extensionalidad afirma que dos conjuntos son iguales exactamente cuando contienen los mismos objetos ¨Co elementos¨C mientras el axioma de infinitud permite construir el conjunto de los n¨²meros naturales

Sin embargo, con una actitud m¨¢s pragm¨¢tica frente a las implicaciones filos¨®ficas de los resultados de G?del, la comunidad matem¨¢tica usa hoy en d¨ªa uno de esos sistemas desarrollados a comienzos de siglo XX. En concreto, el sistema axiom¨¢tico ZFC propuesto por Ernst Zermelo en 1908 y mejorado una quincena de a?os m¨¢s tarde por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem. Entre sus postulados est¨¢ el axioma de extensionalidad, el cual afirma que dos conjuntos son iguales exactamente cuando contienen los mismos objetos ¨Co elementos¨C, as¨ª como el axioma de infinitud, que permite construir el conjunto de los n¨²meros naturales.

Zermelo ¨Cque ocup¨® una c¨¢tedra de honor en la Universidad de Friburgo, hasta que tuvo que abandonarla durante el tercer Reich al negarse a comenzar las clases con el saludo nazi¨C, tambi¨¦n formul¨® el Axioma de Elecci¨®n, que afirma que dada una colecci¨®n de conjuntos no vac¨ªos, es posible escoger un elemento de cada conjunto. Este postulado, aunque es omnipresente en las matem¨¢ticas, no estuvo libre de debate, porque permite demostrar la existencia de objetos matem¨¢ticos de forma no constructiva. En la d¨¦cada de 1930, Kurt G?del demostr¨® que el axioma de elecci¨®n no conduce a ninguna contradicci¨®n interna y a?os m¨¢s tarde Paul Cohen prob¨® que no es consecuencia de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel. En su demostraci¨®n, Cohen desarroll¨® una t¨¦cnica llamada forcing, por la cual fue galardonado con la Medalla Fields en 1966. Esta poderosa herramienta permite producir, incluso hoy en d¨ªa, nuevos universos matem¨¢ticos con propiedades inesperadas.

Amador Mart¨ªn Pizarro es profesor titular en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Daniel Palac¨ªn Cruz es investigador en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania) y profesor visitante en la Universidad Complutense de Madrid.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G-Longoria (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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