G?del y los l¨ªmites de las matem¨¢ticas

Una parte de la comunidad cient¨ªfica se aferra con fervor a la consideraci¨®n de las matem¨¢ticas como un cuerpo de conocimiento coherente, sin influencias personales, de car¨¢cter universal y absoluto. Los enunciados matem¨¢ticos deben ser ciertos o falsos, sin medias tintas, a diferencia de la ambig¨¹edad y los tonos grises que encontramos en nuestro d¨ªa a d¨ªa. Por eso, los teoremas de indecidibilidad del matem¨¢tico austriaco Kurt G?del causan la misma molestia que tener que explicar la met¨¢fora de las flores y las abejitas a un infante curioso que pregunta sin pudor, intentando comprender el mundo que le rodea. Lo mejor ser¨ªa evitar hablar de ello, y seguir pretendiendo que la matem¨¢tica es una ciencia exacta y absoluta sin l¨ªmites.

G?del, nacido el 28 de abril de 1906 en Brno (hoy parte de la Rep¨²blica Checa), demostr¨® como parte de su tesis doctoral, en 1929, el primer teorema de incompletitud, que afirma que todo sistema axiom¨¢tico coherente que englobe las propiedades aritm¨¦ticas b¨¢sicas de los n¨²meros naturales padece una dicotom¨ªa fundamental: o bien no se puede implementar en un algoritmo, o bien los axiomas no son capaces de determinar la veracidad de todos los enunciados posibles. Pese a que no hemos definido t¨¦rminos como veracidad o algoritmo, vamos a pretender que entendemos su significado. Los resultados de G?del parecen a primera vista un trabalenguas: parafraseando con cierta libertad, G?del demostr¨® que en todo ¡°universo matem¨¢tico¡± imaginable habr¨¢ propiedades que no podemos demostrar.

Los enunciados matem¨¢ticos indecidibles son imposibles de evitar. Un ejemplo es la hip¨®tesis del continuo, que afirma que todo subconjunto infinito de los n¨²meros reales se puede identificar con los n¨²meros naturales o con los reales. Otro ejemplo es el axioma de elecci¨®n, que afirma que dada una colecci¨®n de cajas (o conjuntos) no vac¨ªas, es posible escoger un elemento de cada caja. Puede resultar sorprendente que este axioma sea problem¨¢tico, sobre todo si s¨®lo pensamos en un n¨²mero finito de cajas. Sin embargo, en un contexto infinito, tiene consecuencias inesperadas: Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron partiendo de dicho axioma que se puede descomponer una bola de madera maciza en un n¨²mero finito de piezas, las cuales, recolocadas de cierta manera, dan como resultado dos bolas del mismo volumen. No hace falta que el lector busque el serrucho en su caja de herramientas, porque la construcci¨®n es puramente te¨®rica.

La demostraci¨®n del teorema de incompletitud se apoya en dos ideas claves: por un lado, G?del tuvo la destreza de codificar frases y enunciados a trav¨¦s de n¨²meros. Al hablar de n¨²meros, ahora hablamos tambi¨¦n de enunciados. Por otro lado, utiliz¨® un argumento diagonal semejante al que us¨® Georg Cantor para demostrar que, pese a que hay tantos n¨²meros racionales como naturales, hay muchos m¨¢s n¨²meros reales que naturales.

A ra¨ªz de los trabajos de G?del se consolidaron diversas disciplinas dentro de la l¨®gica matem¨¢tica: por un lado, la teor¨ªa de conjuntos como paradigma de un formalismo autosuficiente, la teor¨ªa de la recursi¨®n y de la demostraci¨®n, con un enfoque sint¨¢ctico y algor¨ªtmico, as¨ª como la teor¨ªa de modelos, en la que trabajamos los autores de este art¨ªculo, que se concentra en las propiedades sem¨¢nticas de los objetos matem¨¢ticos.

La f¨ªsica fue otra de las ¨¢reas de inter¨¦s de G?del, cultivada desde sus a?os de estudiante en la Universidad de Viena, y reforzada gracias a su larga amistad con Albert Einstein, durante el periodo en el que ambos eran miembros del Institute of Advanced Studies en Princeton, cuando se vieron obligados a abandonar Alemania debido al tercer Reich. G?del demostr¨® que la posibilidad de viajar en el tiempo no contradice los postulados de la relatividad general y le ofreci¨® la demostraci¨®n a Einstein como regalo de 70 cumplea?os.

Durante el ¨²ltimo periodo de su vida, G?del entr¨® en una etapa oscura, en la que dej¨® de publicar y tuvo crisis psic¨®ticas constantes, con man¨ªas persecutorias. En sus ¨²ltimos a?os estaba convencido de poder demostrar con argumentos l¨®gicos la existencia de una entidad superior, que podemos llamar Dios sin atribuirle ninguna religi¨®n en particular. La neurosis de G?del le hizo temer que sus coet¨¢neos en Princeton le quisieran envenenar, con lo que solo aceptaba comer lo que su mujer, Adele, le preparase. Al ser ¨¦sta hospitalizada seis meses por una intervenci¨®n m¨¦dica, G?del, esclavo de su rigor l¨®gico, muri¨® de inanici¨®n el 14 de enero de 1978, pesando tan s¨®lo 29 kilos. Afortunadamente, su herencia sigue viva en las matem¨¢ticas de hoy en d¨ªa.

El¨ªas Baro Gonz¨¢lez es contratado doctor interino en el Departamento de ?lgebra, Geometr¨ªa y Topolog¨ªa de la Universidad Complutense de Madrid.

Amador Mart¨ªn Pizarro es profesor en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT)