Del metateatro a los fundamentos de las matem¨¢ticas

?Qu¨¦ es el metateatro? A?adimos el prefijo meta- a un objeto, disciplina o campo de creaci¨®n humano cuando queremos destacar que la autorreferencia forma parte del mismo. En el caso de una obra metateatral, aparecen elementos que hacen referencia a la propia representaci¨®n. La autorreferencia crea as¨ª distintos niveles de sentido que se relacionan entre s¨ª, sugiriendo un mundo de conexiones con filosof¨ªa, l¨®gica y matem¨¢ticas.

Algunas de estas interesantes conexiones se pueden encontrar en The Rehearsal, obra creada por las hermanas Cuqui y Mar¨ªa Jerez, Cristina Blanco, Gilles Gentner y Amaia Urra, y estrenada en 2008. Seg¨²n la propia Cuqui Jerez, ¡°The Rehearsal es una ficci¨®n dentro de una ficci¨®n dentro de una ficci¨®n¡­ y as¨ª hasta el infinito [¡­] Un ensayo es dirigido por una directora cuando otra directora interrumpe y dirige a la directora que dirige el ensayo. Otra directora interrumpe y dirige a la directora que dirige a la directora que dirige el ensayo¡±.

La autorreferencia es ubicua en todas las artes, ya sea pl¨¢sticas, desde el cuadro dentro del cuadro, representado, entre otros, en Las Meninas de Vel¨¢zquez, a las obras conceptualmente m¨¢s complejas de Escher; literarias, como Don Quijote de la Mancha, de Cervantes, o el inabarcable universo de Borges; y tambi¨¦n musicales, como los c¨¢nones de Bach, o los selfis sonoros de Rosal¨ªa.

En el caso de las artes esc¨¦nicas, podemos encontrar elementos metateatrales en tragedias cl¨¢sicas griegas y, de manera m¨¢s evidente, en La vida es sue?o de Calder¨®n de la Barca o Hamlet y Enrique IV, de Shakespeare. Sin embargo, se suele considerar Seis personajes en busca de autor, de Luigi Pirandello, como la primera obra metateatral moderna. Estrenada en 1921, la obra nos sit¨²a en un teatro en el que actores, director y tramoyista se encuentran ensayando. Su trabajo es interrumpido por seis personajes que aseguran haber sido creados por un autor que nunca lleg¨® a escribir su obra, y buscan convencer al director de que ponga su drama en escena. Pronto, los seis personajes acabar¨¢n burl¨¢ndose de los rid¨ªculos intentos de los actores y su incapacidad para representarlos.

El teorema de incompletitud afirma que todo lenguaje formal suficientemente rico como para referirse a s¨ª mismo posee f¨®rmulas que no se pueden demostrar ni refutar

Tambi¨¦n en los a?os 1920, el l¨®gico y matem¨¢tico Kurt G?del se encontraba realizando su tesis doctoral en Viena, en la que estudiaba lenguajes formales, en concreto, la relaci¨®n entre nociones como consistencia, demostrabilidad y completitud. En 1931 public¨® la demostraci¨®n de su famoso teorema de incompletitud, que afirma que todo lenguaje formal suficientemente rico como para referirse a s¨ª mismo posee f¨®rmulas que no se pueden demostrar ni refutar. La autorreferencia resulta fundamental en las ideas de G?del, pues su teorema parte de construir una oraci¨®n matem¨¢tica que afirma su propia indemostrabilidad. El ensayo G?del, Escher, Bach: un eterno y gr¨¢cil bucle, de Douglas Hofstadter, presenta las sugerentes interacciones entre la obra de G?del en l¨®gica, los dibujos de Escher y los c¨¢nones y fugas de Bach, con la autorreferencia como uno de los principales hilos conductores.

Una idea similar, aunque a un nivel m¨¢s elemental que los trabajos de G?del, dio lugar a la llamada paradoja de Russell, que provoc¨® una crisis en la fundamentaci¨®n de la teor¨ªa de conjuntos a comienzos del siglo XX. Recu¨¦rdese que el edificio matem¨¢tico, en el que se basan tantos avances de las distintas ciencias y tecnolog¨ªas actuales, reposa en unos cimientos formados por unas pocas reglas l¨®gicas y axiomas de la teor¨ªa de conjuntos. En esta fundamentaci¨®n, uno debe definir claramente qu¨¦ es un ¡°conjunto¡± (y qu¨¦ no lo es) para evitar ambig¨¹edades. La teor¨ªa de conjuntos, en la versi¨®n na¨ªf que se consideraba a finales del siglo XIX, propon¨ªa llamar ¡°conjunto¡± a cualquier colecci¨®n definible.

Decimos que los elementos que forman un conjunto ¡°pertenecen¡± al mismo. Por ejemplo, podr¨ªamos considerar el conjunto de las frases de este texto. As¨ª, ser¨ªa correcto decir que esta frase pertenece a dicho conjunto. Podr¨ªamos considerar tambi¨¦n la colecci¨®n de todos los conjuntos que no pertenecen a s¨ª mismos ¨Cuna definici¨®n claramente autorreferencial¨C; llam¨¦mosla C. Obs¨¦rvese por ejemplo que el conjunto de las frases de este texto no pertenece a s¨ª mismo, porque un conjunto de frases no es una frase. La pregunta clave es, ?puede ser C un conjunto? Si lo es, entonces, o bien pertenece a s¨ª mismo, o bien no; si pertenece a s¨ª mismo, entonces ¨Cpor definici¨®n de C¨C no puede pertenecer a C; pero si no pertenece a s¨ª mismo, entonces pertenece a C. Ah¨ª est¨¢ la paradoja ¨C C pertenece y no pertenece a s¨ª mismo¨C, que viene de suponer que C es un conjunto. Por ello la propia definici¨®n de conjunto hubo de ser revisada.

El uso de la repetici¨®n y la autorreferencia para implicar la idea de algo infinito es magistralmente empleado en ¡®The Rehearsal¡¯

La autorreferencia es tambi¨¦n una herramienta ¨²til para dar sentido preciso a la noci¨®n de infinito. De hecho, podemos entender el infinito en t¨¦rminos de repetici¨®n: para construir los n¨²meros naturales se empieza por 1, y a partir de ¨¦l, sumando uno, se construye el siguiente n¨²mero (que llamamos 2), y a partir de 2, el siguiente (o sea, 3), y a partir de 3, el siguiente¡­ y la clave es que siempre podr¨¦ construir el siguiente n¨²mero.

El uso de la repetici¨®n y la autorreferencia para implicar la idea de algo infinito es magistralmente empleado en The Rehearsal; en todo su planteamiento, pero especialmente, en su conclusi¨®n (que no revelaremos para evitar spoilers a posibles espectadores). The Rehearsal constituye un ejercicio sublime de divulgaci¨®n, de invitaci¨®n a la reflexi¨®n y autorreflexi¨®n, recomendable para cualquier amante del teatro, de las matem¨¢ticas o de la filosof¨ªa.

Pedro Tradacete es investigador del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas (CSIC) en el ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G-Longoria (ICMAT).

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