Bertrand Russell y los fundamentos de las matem¨¢ticas

Este mes de febrero se cumpli¨® el quincuag¨¦simo aniversario de la muerte del matem¨¢tico, fil¨®sofo y escritor Bertrand Russell. Su prol¨ªfica obra y proteica actividad de intelectual, comprometida e inconformista, tuvieron una profunda influencia en la educaci¨®n sentimental y pol¨ªtica de muchos miembros de mi generaci¨®n. Mucho antes de que existiera Internet y se popularizara el t¨¦rmino influencer, Russell ejerci¨® como tal con autoridad y garbo. Aunque aquella no result¨® ser tarea exenta de riesgos: fue encarcelado dos veces por defender sus ideas, la primera en tiempos de la Primera Guerra Mundial y la segunda, cuando ya era anciano, y fue expulsado de la Universidad de Cambridge en 1916. Tambi¨¦n lo destituyeron, ?ay!, de mi querida Universidad de Chicago, y del City College de Nueva York, por sus opiniones sobre el matrimonio y la libertad sexual, en los a?os 40 del siglo pasado.

Luch¨® a favor del pacifismo en la Gran Guerra, hizo campa?a en pro del desarme nuclear, denunci¨® los cr¨ªmenes en la guerra de Vietnam, se opuso al nazismo y al estalinismo y defendi¨® modernos puntos de vista sobre la educaci¨®n y la sexualidad. Todo aquello le hizo tremendamente atractivo para la juventud universitaria, a la que fascinaba con sus ideas y sus frases brillantes: ¡°Los cient¨ªficos se esfuerzan en hacer posible lo imposible. Los pol¨ªticos en hacer lo posible imposible¡±; ¡°Entre todas las formas de cautela, la cautela en el amor es, probablemente, la m¨¢s letal para la aut¨¦ntica felicidad¡±; ¡°Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes est¨¢n completamente seguros y los inteligentes llenos de dudas¡±; ¡°La buena vida es una vida inspirada por el amor y guiada por el conocimiento¡±.

Bertrand Russell populariz¨® una paradoja especialmente clara y sencilla que mostraba las carencias de la fundamentaci¨®n conjuntista

Contribuy¨® al desarrollo de la l¨®gica matem¨¢tica se?alando los problemas sobre sus fundamentos que implicaban las paradojas, o antinomias, presentes en la teor¨ªa de conjuntos. Los n¨²meros llamados naturales, 1, 2, 3,¡­, son elementos b¨¢sicos de nuestro idioma y de nuestra vida cotidiana que, entre otros usos, empleamos para contar, ordenar, sumar, multiplicar y repartir. Sin embargo, su definici¨®n precisa no es tan evidente.

Hacia finales del siglo XIX, el l¨®gico Gottlob Frege y el matem¨¢tico Georg Cantor trataron de dar una definici¨®n reduciendo la noci¨®n de n¨²mero a la ¡°m¨¢s primitiva¡± de conjunto o agregado, siguiendo el modo de funcionamiento de nuestro cerebro que entiende los n¨²meros contando los elementos de los conjuntos. No obstante, Cantor se dio cuenta enseguida de que el uso ingenuo de la noci¨®n de conjunto llevaba a ciertas antinomias que era preciso dilucidar.

Sin embargo, fue Bertrand Russell qui¨¦n populariz¨® una paradoja especialmente clara y sencilla, que mostraba las carencias de esa fundamentaci¨®n conjuntista. Defini¨® un conjunto ordinario como aquel que no se contiene a s¨ª mismo como elemento; el caso contrario recibe el nombre de extraordinario. Por ejemplo, un conjunto de sillas no es una silla y, por tanto, es ordinario, ya que no se contiene a s¨ª mismo como elemento; mientras que el cat¨¢logo de todos los cat¨¢logos es, seg¨²n Russell, un ejemplo de conjunto extraordinario. Consideremos el ¡°conjunto de todos los conjuntos ordinarios¡±. Claramente no puede ser ordinario, pues si lo fuese, entonces se tendr¨ªa a s¨ª mismo como elemento y, por tanto, ser¨ªa extraordinario; pero tampoco puede ser extraordinario, porque, de serlo, tendr¨ªa que ser ordinario como todos sus elementos.

Los tres tomos de ¡®Principia Mathematica¡¯ fueron el resultado de su intento de eliminar las paradojas a trav¨¦s de una axiom¨¢tica precisa, que llamaron teor¨ªa de los tipos

Esta paradoja y otras de ¨ªndole parecida dieron lugar a la llamada crisis de los fundamentos, y propiciaron el desarrollo de la l¨®gica matem¨¢tica. En las crisis suelen aparecer caracteres pragm¨¢ticos que sugieren olvidar las cuestiones de principio, y proponen que nos centremos en la tarea de establecer unas reglas de juego que sean claras y permitan, manteniendo cierta dignidad, continuar con la tarea. Esa fue la aspiraci¨®n del gran David Hilbert y la escuela formalista, cuyo rastro encontramos en las axiom¨¢ticas de Peano y de Zermelo-Fraenkel. Por su parte, Bertrand Russell, junto a Alfred N. Whitehead, prosigui¨® con el programa logicista, que quer¨ªa reducir la matem¨¢tica a la l¨®gica. Los tres tomos de Principia Mathematica fueron el resultado de su intento de eliminar las paradojas a trav¨¦s de una axiom¨¢tica precisa, que llamaron teor¨ªa de los tipos.

Ambos puntos de vista, logicismo y formalismo, trataban de formular un sistema de axiomas que fuese, a la vez, consistente (es decir, que no diera lugar a contradicciones) y completo (la validez o falsedad de toda proposici¨®n podr¨ªa ser elucidada dentro del sistema). Pero Kurt G?del ech¨® por tierra estos ensue?os de una teor¨ªa matem¨¢tica del todo, con su afamado teorema de incompletitud.

Los Principia Mathematica de Russell y Whitehead son, en cierto sentido, el acta de un proyecto frustrado. Pero contribuyeron grandemente al desarrollo de la l¨®gica matem¨¢tica, que, en la obra de Kurt G?del, Paul Cohen, Thoralf Skolem, Alonzo Church, y Alan Turing, entre otros, se ha convertido en una construcci¨®n magn¨ªfica y ¨²til, sin la que no cabe concebir el desarrollo de la moderna teor¨ªa de la computaci¨®n, y los lenguajes de los ordenadores, que tanto han hecho cambiar el mundo.

Antonio C¨®rdoba es catedr¨¢tico em¨¦rito de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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