M¨¢s enigmas de autor (y autora)

El primer ¡°enigma de autor¡± de la semana pasada est¨¢ tomado del maravilloso (en ambos sentidos del t¨¦rmino) libro de Malba Tahan El hombre que calculaba, y el reparto de perlas entre las hijas del raj¨¢ exige que la ¨²ltima hija, la en¨¦sima, se lleve n perlas y no sobre ninguna, pues si sobraran algunas tendr¨ªa que llevarse, adem¨¢s, la s¨¦ptima parte de ellas, y quedar¨ªan sin repartir 6/7 de dichas perlas sobrantes. Y como nos dicen que el reparto es equitativo, cada una de las dem¨¢s hijas tambi¨¦n se lleva n perlas, por lo que su n¨²mero total es n?. Por otra parte, este n¨²mero ha de ser m¨²ltiplo de 7 m¨¢s 1, para que la hija mayor pueda llevarse una perla m¨¢s un s¨¦ptimo de las sobrantes, luego n? = 7k + 1, donde k es un n¨²mero entero. La menor soluci¨®n es k = 5, n = 6, o sea, 6 hijas y 36 perlas. La primera hija se lleva 1 + 35/7 = 6; la segunda, 2 + 28/7 = 6; la tercera, 3 + 21/7 = 6; la cuarta, 4 + 14/7 = 6; la quinta, 5 + 7/7 = 6; y la sexta, las 6 perlas restantes. Esta soluci¨®n es ¨²nica (?por qu¨¦?).

El segundo problema es obra de Angela Foxx Dunn, que en los a?os sesenta del siglo pasado realiz¨®, para un par de revistas t¨¦cnicas, una excelente secci¨®n semanal de acertijos matem¨¢ticos titulada Problematical Recreations, y tambi¨¦n public¨® varios libros sobre el tema. Si llamamos x al menor de los dos n¨²meros consecutivos, tenemos que x = 23a y x+1 = 29b, siendo a y b n¨²meros enteros, luego 29b = 23a+1, por lo que a ha de ser de la forma 29k+5 y b de la forma 23k+4. Como los n¨²meros solo pueden contener los d¨ªgitos 1 y 2, x ha de terminar en 1, luego a termina en 7, y por tanto k termina en 8. Con k = 18, a = 27 y b = 418, y los n¨²meros son 12.121 y 12.122.

El tercer problema es una ingeniosa aproximaci¨®n del maestro Raymond Smullyan al teorema de Cantor, y de momento no dir¨¦ nada m¨¢s.

Y el rompecabezas de los cuadrados superpuestos es del maestro de maestros, Lewis Carroll. A todos los v¨¦rtices les corresponde un n¨²mero par de aristas, por lo que el recorrido tiene que empezar y terminar en el mismo punto. Hay varias soluciones distintas (aunque no tantas como parece, pues las soluciones sim¨¦tricas son equivalentes).

Y otros cuatro de la misma cantera

1. Un paseante sale de su casa a las tres. Recorre un camino llano, luego sube a una colina y, sin prisa pero sin pausa, regresa a su casa y llega a las nueve. En el camino llano va a 4 millas por hora, subiendo a la colina a 3 y en el descenso a 6. Hallar la distancia recorrida por el paseante y, con media hora de aproximaci¨®n, la hora en que lleg¨® a lo alto de la colina.

2. ¡°Yo soy como el Rey Rojo -dijo la Reina Roja-. Al igual que ¨¦l, creo cosas falsas cuando estoy dormida y cosas verdaderas cuando estoy despierta. Anoche, a las once, el Rey Rojo cre¨ªa que yo estaba dormida. A la misma hora, ?qu¨¦ cre¨ªa yo, que ¨¦l estaba dormido o que estaba despierto?¡±.

3. Usando los diez d¨ªgitos, formar dos n¨²meros de cinco cifras cuyo producto sea el mayor posible.

4. Tres marineros reciben como recompensa un mont¨®n de monedas que han de repartirse al d¨ªa siguiente. Por la noche, uno de los marineros se despierta, divide las monedas en tres partes iguales, tira al mar una moneda que sobra y se lleva su parte. El segundo y el tercer marinero, sucesivamente, hacen lo mismo. A la ma?ana siguiente el capit¨¢n divide las monedas restantes en tres partes iguales, se queda una moneda que sobra y le da una parte a cada marinero. ?Cu¨¢ntas monedas hab¨ªa?

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