El hombre que calculaba

Si llamamos N al n¨²mero de cocos recogidos por nuestros n¨¢ufragos de la semana pasada, x a los que se lleva el primero de ellos, y a los del segundo, z a los del tercero, v a los del cuarto, w a los del quinto y r a los que les tocan a cada uno en el reparto final, tenemos:

N = 5x + 1

M¨¢s informaci¨®n

?Por qu¨¦ los escritores deber¨ªan estudiar matem¨¢ticas?

El n¨²mero de Ramanujan

N ¨C x ¨C 1 = 5y + 1

N ¨C x ¨C 1 ¨C y ¨C 1 = 5z + 1

N ¨C x ¨C 1 ¨C y ¨C 1 ¨C z ¨C 1 = 5v + 1

N ¨C x ¨C 1 ¨C y ¨C 1 ¨C z ¨C 1 ¨C v ¨C 1 = 5w + 1

N ¨C x ¨C 1 ¨C y ¨C 1 ¨C z ¨C 1 ¨C v -1 ¨C w ¨C 1 = 5r

De donde, despejando y sustituyendo, se obtiene tras laboriosos pero sencillo proceso:

1024N = 15625r + 8404

Como N y r tienen que ser n¨²meros enteros y positivos, obtenemos, por el m¨¦todo cl¨¢sico de resoluci¨®n de ecuaciones diof¨¢nticas (demasiado largo para exponerlo aqu¨ª pero f¨¢cil de encontrar en la red):

N = 3121 + 15625n, donde n puede tomar cualquier valor entero, pues el problema tiene infinitas soluciones. Como nos piden el n¨²mero m¨ªnimo de cocos que cumplen la condici¨®n, tomaremos n=0, o sea, N = 3121. Lo que significa que el primer n¨¢ufrago se comi¨® 624 cocos, el segundo 499, el tercero 399, el cuarto 319 y el quinto 255, lo cual es tan disparatado que plantea el metaproblema de por qu¨¦ el problema se ha mantenido as¨ª en vez de sustituir, por ejemplo, los cocos por cacahuetes, pi?ones o pipas de girasol.

En cuanto al porcentaje de hombres a la vez feos, tontos y malos, si hay un 70 % de cada tipo tenemos, por cada 100 hombres, 210 dones a repartir entre ellos, por lo que a al menos 10 les tocar¨¢n los tres, de modo que al menos un 10 % de los hombres son feos, tontos y malos (un mis¨¢ntropo dir¨ªa que, si en el problema anterior nos pasamos de la raya, en este nos quedamos cortos).?

De perlas, princesas, monedas y marineros

Un lector se?al¨® oportunamente que el problema del mono y los cocos es similar a Las perlas del raj¨¢, uno de los acertijos planteados en el maravilloso libro El hombre que calculaba, del matem¨¢tico, escritor y arabista brasile?o J¨²lio C¨¦sar de Mello e Souza, m¨¢s conocido por su seud¨®nimo Malba Tahan. El acertijo en cuesti¨®n dice as¨ª:

En El hombre que calculaba hay otro problema, el de los tres marineros, a¨²n m¨¢s similar al del mono y los cocos; tan similar que probablemente sea su antecedente directo

Un raj¨¢ dej¨® a sus hijas cierto n¨²mero de perlas y dispuso que se las repartieran de la siguiente manera: a la hija mayor le corresponder¨ªa una perla m¨¢s un s¨¦ptimo de las restantes; a la segunda, dos perlas m¨¢s un s¨¦ptimo de las restantes; a la tercera, tres perlas m¨¢s un s¨¦ptimo de las restantes, y as¨ª sucesivamente. Las hijas m¨¢s j¨®venes se quejaron ante un juez, alegando que con ese reparto saldr¨ªan perjudicadas. Pero el juez, que era h¨¢bil en la resoluci¨®n de problemas, replic¨® que la divisi¨®n propuesta por el raj¨¢ era justa y equitativa. Y ten¨ªa raz¨®n, pues tras efectuar el reparto todas las hermanas obtuvieron el mismo n¨²mero de perlas. ?Cu¨¢ntas eran las hijas del raj¨¢ y cu¨¢ntas perlas se repartieron?

Pero en El hombre que calculaba hay otro problema, el de los tres marineros, a¨²n m¨¢s similar al del mono y los cocos; tan similar que probablemente sea su antecedente directo. El planteamiento es el mismo, aunque algo m¨¢s sencillo:

Tres marineros reciben como recompensa un mont¨®n de monedas que han de repartirse al d¨ªa siguiente. Por la noche, uno de los marineros se despierta, divide las monedas en tres partes iguales, tira al mar una moneda que sobra y se lleva su parte. El segundo y el tercer marinero, sucesivamente, hacen lo mismo. A la ma?ana siguiente el capit¨¢n divide las monedas restantes en tres partes iguales, se queda una moneda que sobra y le da una parte a cada marinero. ?Cu¨¢ntas monedas hab¨ªa?

Quienes se atascaron con el largo y engorroso problema del mono y los cocos, tal vez tengan m¨¢s ¨¦xito con esta versi¨®n reducida; y quienes lo resolvieron pueden buscar, en este caso, otra v¨ªa de resoluci¨®n m¨¢s simple.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellosMaldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.