Los tama?os del infinito

La noci¨®n de infinito suscita una mezcla de atracci¨®n y pavor, por las ideas con las que se relaciona: la inmensidad, lo eterno, lo inabarcable. En matem¨¢ticas, sin embargo, se utiliza con naturalidad. Aparece al examinar colecciones de objetos ¨Cconjuntos¨C, en los que podemos encontrar siempre nuevos elementos, sin llegar a agotarlos nunca. As¨ª sucede con los n¨²meros naturales, que utilizamos para contar: uno, dos, tres... La secuencia de n¨²meros naturales jam¨¢s termina, de modo que decimos que el conjunto de naturales es infinito. Tambi¨¦n lo es el de los n¨²meros enteros, que resulta al incorporar, al conjunto anterior, los negativos ¨Cque podemos entender intuitivamente como deudas¨C m¨¢s el puente entre positivos y negativos, el misterioso cero, de origen hind¨². O el de los n¨²meros racionales, es decir, las fracciones, donde tienen cabida cantidades como un tercio, o dos quintos. O el de los n¨²meros reales, donde consideramos n¨²meros con cifras decimales en forma de secuencia, que puede ser, ella misma, infinita.

Hasta que el matem¨¢tico Georg Cantor entr¨® en escena, a finales del siglo XIX, todos esos conjuntos ¨Cel de los n¨²meros naturales, los enteros, los racionales y los reales¨C, habitaban, juntos, el enigm¨¢tico pozo del infinito. Aunque lo cierto es que, hasta ese momento, nadie hab¨ªa reparado en que hubiera enigma alguno: hab¨ªa infinitos elementos de todos ellos, y ah¨ª terminaba la cuesti¨®n. Cantor, matem¨¢tico de origen ruso que m¨¢s tarde ser¨ªa profesor en Alemania, se empe?¨® en asomarse a ese abismo con m¨¢s cuidado. Se pregunt¨®, f¨ªjense qu¨¦ cosa tan extra?a, si todos esos infinitos eran iguales, es decir, si en alg¨²n sentido ten¨ªan el mismo tama?o, o no.

Para saber si dos equipos de balonmano poseen el mismo tama?o, en cuyo caso pueden enfrentarse con equidad, nos basta emparejar a los jugadores de uno y otro: si todo jugador del equipo A puede darle la mano a un, y solo uno, jugador del equipo B, sin que ning¨²n jugador ni de A ni de B quede sin pareja, podemos estar seguros de que la cantidad de jugadores en uno y otro caso es la misma. De hecho, a ambos les representa el mismo n¨²mero, que en este caso designa la cantidad de jugadores de cada equipo.

Conjuntos infinitos

Cantor hizo lo mismo con conjuntos infinitos. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de n¨²meros naturales y el de los n¨²meros pares, nos encontramos con que, a pesar de que el primero contiene al segundo y no al rev¨¦s, los elementos de ambos pueden ser emparejados: al uno le corresponde el dos, al dos el cuatro, al tres el seis... Y ning¨²n elemento de los dos conjuntos queda sin pareja. As¨ª, aunque el conjunto de naturales puede estimarse como ¡°m¨¢s grande¡± que el de los pares, sus infinitos tienen el mismo ¡°tama?o¡±. Cantor dijo que esos dos infinitos pose¨ªan el mismo orden de infinitud, que ven¨ªa representado por un n¨²mero transfinito ¨Cuna idea que enamor¨® al escritor argentino Jorge Luis Borges¨C, al que represent¨® con la letra hebrea aleph (?) provista del sub¨ªndice cero.

Sigui¨® comparando los naturales con los enteros y luego los naturales con los n¨²meros racionales. En los dos casos encontr¨® formas ingeniosas de emparejarlos tambi¨¦n, de modo que concluy¨® que los infinitos de todos esos conjuntos, aparentemente cada vez m¨¢s grandes, eran, de nuevo, por as¨ª decirlo, el mismo: aleph sub cero. Pero con los n¨²meros reales, sorprendentemente, esto no era posible: intuitivamente (una demostraci¨®n m¨¢s precisa, aunque comprensible, puede encontrarse aqu¨ª), demostr¨® que la densidad del conjunto de los n¨²meros reales era mucho mayor, es decir, como granos de arena, los n¨²meros reales se escurr¨ªan, y siempre hab¨ªa reales que no pod¨ªan emparejarse con ning¨²n natural. El conjunto de los reales, por tanto, daba lugar a un nuevo orden de infinitud, aleph sub uno, en un cierto sentido estrictamente mayor que el de los naturales.

Hizo muchas cosas asombrosas m¨¢s. Por ejemplo, prob¨® que el n¨²mero de puntos en un segmento cualquiera y en el interior de un cuadrado o de un cubo, era el mismo (el orden de infinitud en ambos casos coincid¨ªa). Sospech¨® de sus propios resultados y escribi¨® a otros matem¨¢ticos preguntando si estaba perdiendo el sentido. Y aunque en ese momento no, lo cierto es que al final de su vida s¨ª perdi¨® la raz¨®n. Probablemente en ello tuvo parte de responsabilidad su n¨¦mesis, Leopold Kronecker, un matem¨¢tico importante e influyente que ve¨ªa en el trabajo de Cantor un puro delirio y le hizo la vida dif¨ªcil. En fin, hoy los hallazgos de Cantor son cl¨¢sicos y universalmente celebrados pero, en parte, a ¨¦l le costaron la cordura. Podr¨ªamos decir, ironizando, que el infinito ten¨ªa un precio.

Juan Gerardo Alc¨¢zar Arribas es profesor titular de Matem¨¢tica Aplicada en la Universidad de Alcal¨¢

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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