Matem¨¢ticas inspiradas por la teor¨ªa de cuerdas

Estamos en una peque?a oficina, de luz deficiente y abarrotada de pizarras blancas apoyadas contra paredes, puertas y ventanas. Dos f¨ªsicos te¨®ricos miran intensamente una complicada ecuaci¨®n escrita a mano en una de ellas, mientras suena Eye of the Tiger. En esta escena de la serie Big Bang Theory, donde un te¨®rico de cuerdas y un cosm¨®logo colaboran para desvelar los misterios de la materia, falta un ingrediente importante: un matem¨¢tico, no solo aportando el lenguaje adecuado, sino tambi¨¦n tomando buenas notas.

Efectivamente, las matem¨¢ticas son la principal herramienta de trabajo de los f¨ªsicos te¨®ricos para avanzar en su conocimiento de la naturaleza. Un ejemplo es el uso del c¨¢lculo diferencial en la f¨ªsica newtoniana o, m¨¢s recientemente, la formulaci¨®n de la teor¨ªa de la relatividad general de Einstein, donde el espacio y el tiempo se funden en un ¨²nico ente, a trav¨¦s de la complicada geometr¨ªa de los espacios curvos. No obstante, la influencia sucede en ambas direcciones y una teor¨ªa f¨ªsica, surgida hace aproximadamente 40 a?os, ha logrado captar la atenci¨®n y el inter¨¦s de los matem¨¢ticos m¨¢s abstractos. Hablamos de la teor¨ªa de cuerdas.

Esta teor¨ªa fundamental, propuesta en los a?os 1970 por J?el Scherk y John Henry Schwarz, unifica la gravedad con las otras fuerzas y podr¨ªa dar soluci¨®n al problema de combinar la gravedad con la teor¨ªa cu¨¢ntica. Para ello, se basa en objetos unidimensionales o ¡°cuerdas¡±, en lugar de part¨ªculas puntuales, cuyos modos de vibraci¨®n singularizan los diferentes constituyentes del universo conocido. Paralelamente, Pierre Ramond, Andr¨¨ Neveu y John Henry Schwarz propusieron una modificaci¨®n de la teor¨ªa que alberga supersimetr¨ªa y que permite la presencia de ciertas part¨ªculas, conocidas como fermiones. Esta versi¨®n de supercuerdas requiere la existencia de seis dimensiones adicionales al espacio-tiempo cuatridimensional que observamos, enrolladas en formas compactas de un tama?o diminuto.

La forma geom¨¦trica de este espacio interno ha de ser muy particular, ya que debe permitir la buena vibraci¨®n de las cuerdas fundamentales en el espacio total de diez dimensiones. En la d¨¦cada de 1980 Philip Candelas, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten caracterizaron la interesante forma de estos espacios internos. Y dieron, precisamente, con unas geometr¨ªas cuya existencia te¨®rica hab¨ªa demostrado diez a?os antes el matem¨¢tico y medallista fields S.-T. Yau. Son los llamados espacios o variedades Calabi-Yau.

Bas¨¢ndose en esta relaci¨®n, el prisma de la teor¨ªa de cuerdas ha permitido abordar diversos problemas matem¨¢ticos; el primero, una cuesti¨®n de geometr¨ªa enumerativa. Este tipo de problemas se remontan al griego Apolonio de Perga (262 a. C. ¨C 190 a. C.), que se pregunt¨®: dada una configuraci¨®n de tres c¨ªrculos disjuntos en el plano, ?cuantos c¨ªrculos son tangentes a estos tres dados?

Un problema de naturaleza similar interes¨® a los ge¨®metras algebraicos desde el siglo XIX. En el problema anterior, se reemplaza el plano por un espacio algebraico, los c¨ªrculos dados por puntos y los c¨ªrculos que contamos por esferas con un cierto grado d asociado. La pregunta entonces es: ?Cu¨¢ntas esferas de grado fijo d, pasando por los 3d -1 puntos, contiene dicho espacio? Cuando este espacio es Calabi-Yau, el problema se conoce como la conjetura de Clemens. En la variedad Calabi-Yau m¨¢s simple hay un total de 609 250 esferas de grado 2, seg¨²n calcul¨® el matem¨¢tico Sheldon Katz en 1986.

Para total sorpresa de la comunidad matem¨¢tica, en 1991 un equipo de cuatro f¨ªsicos ¨CPhilip Candelas, Xenia De La Ossa, Paul Green, y Linda Parkes¨C llev¨® a cabo un c¨¢lculo que predec¨ªa el n¨²mero de esferas de diferente grado d en un espacio Calabi-Yau. La complicada serie de cantidades de esferas, que hab¨ªa permanecido inaccesible para los c¨¢lculos matem¨¢ticos, se pod¨ªa codificar en una elegante funci¨®n que med¨ªa la probabilidad de propagaci¨®n de una cuerda.

El desarrollo posterior de estas ideas ha dado lugar a todo un campo de estudio en matem¨¢ticas conocido como simetr¨ªa especular, con importantes problemas abiertos como las conjeturas homol¨®gicas de simetr¨ªa especular, formuladas por el matem¨¢tico y medallista Fields Maxim Kontsevich.

Otro problema matem¨¢tico en cuya soluci¨®n fueron clave herramientas provenientes de la teor¨ªa de cuerdas es la conjetura de Poincar¨¦, resuelta por el matem¨¢tico ruso Grigori Perelman, lo que le vali¨® en 2006 la distinci¨®n de la Medalla Fields (que rechaz¨®). El problema trata sobre la clasificaci¨®n de los espacios tridimensionales compactos. Para ello, Perelman desarrollo una nueva t¨¦cnica, basada en ideas previas de Richard Hamilton y conocida como flujo de Ricci con cirug¨ªa, que permit¨ªa modificar estos espacios, a la vez que implementaba ciertos cortes y pegados, para descomponerlos en otros m¨¢s elementales y as¨ª poder clasificarlos.

Tanto la ecuaci¨®n de modificaci¨®n del espacio que us¨® Perelman como la energ¨ªa que permit¨ªa detectar el momento preciso en que realizar cada cirug¨ªa eran bien conocidos en teor¨ªa de cuerdas: se correspond¨ªan con el llamado flujo de renormalizaci¨®n y la acci¨®n efectiva, que permite describir la f¨ªsica observada en cuatro dimensiones, a partir de un modelo de cuerdas de diez dimensiones.

Estas ideas se contin¨²an desarrollando en el llamado flujo de Ricci generalizado, recogido en un libro recientemente publicado por la American Mathematical Society. De acuerdo con una propuesta del matem¨¢tico Jeffrey Streets, esta teor¨ªa puede tener futuras aplicaciones en la clasificaci¨®n de una importante clase de espacios de dimensi¨®n cuatro, las superficies complejas.

Estos son solo algunos ejemplos de c¨®mo, pese a que a lo largo de los a?os el inter¨¦s f¨ªsico en la teor¨ªa de cuerdas ha ido mermando ¨Cprincipalmente por su falta de car¨¢cter predictivo y porque algunos de sus postulados, como la supersimetr¨ªa, no han sido observados experimentalmente¨C, la teor¨ªa contin¨²a teniendo un gran valor para las matem¨¢ticas. Bien como fuente de inspiraci¨®n para nuevos problemas, cuya soluci¨®n requiere el desarrollo de nuevas l¨ªneas de pensamiento matem¨¢tico o incluso teor¨ªas completas, o bien por su capacidad de hacer predicciones exactas sobre los problemas matem¨¢ticos m¨¢s abstractos.

Mario Garc¨ªa Fern¨¢ndez es investigador en la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (CSIC-UAM-UCM-UC3M)

?gata Tim¨®n G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas

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