No hace falta efectuar complejos c¨¢lculos para comprobar, como se preguntaba la semana pasada, si la ra¨ªz quinta de 5 es mayor o menor que la ra¨ªz cuadrada de 2. Basta con elevar ambas cantidades a la d¨¦cima potencia, con lo que obtendremos, respectivamente, 5? = 25 y 2? = 32, de donde se desprende que ¡Ì2 es mayor que la ra¨ªz quinta de 5.

An¨¢logamente, para comparar la ra¨ªz cuarta de 4 con la ra¨ªz s¨¦ptima de 7 hay que elevar ambas cantidades a la potencia 28, con lo que, a primera vista, podr¨ªa parecer que ya no es tan f¨¢cil resolver la cuesti¨®n mentalmente; pero, con un poco de ingenio, vemos que, puesto que la ra¨ªz cuarta de 4 elevada a la potencia 28 es 4?:

4? = 214 = 2? x 2? = 128?

Y como la ra¨ªz s¨¦ptima de 7 elevada a la potencia 28 es 7?:

7? = 7? x 7? = 49?

Y puesto que 128 > 49, la ra¨ªz cuarta de 4 es mayor que la ra¨ªz s¨¦ptima de 7.

A primera vista, parecer¨ªa que si m > n, la ra¨ªz en¨¦sima de n es mayor que la ra¨ªz ¡°em¨¦sima¡± de m. ?Es as¨ª siempre?

El tercer problema de la semana pasada es un poco m¨¢s complicado. Empecemos por elevar ambas expresiones al cuadrado:

(¡Ì7 + ¡Ì10)? = 7 + 10 + 2¡Ì70 = 17 + 2¡Ì70

(¡Ì3 + ¡Ì19)? = 3 + 19 + 2¡Ì57 = 22 + 2¡Ì57

Restando 17 de ambas expresiones, tenemos

2¡Ì70

5 + 2¡Ì57

Y si elevamos ambas expresiones al cuadrado:

(2¡Ì70)? = 280

(5 + 2¡Ì57)? = 253 + 20¡Ì57

Y restando 253 de ambas cantidades tenemos:

27

20¡Ì57

Y como ¡Ì57 > 7, 20¡Ì57 > 140, luego:

¡Ì3 + ¡Ì19 > ¡Ì7 + ¡Ì10

Y, tras el precalentamiento neuronal, otro un poco m¨¢s dif¨ªcil, pero que tambi¨¦n se puede resolver mentalmente (o casi):

Si x elevado a la potencia x? es igual a 3, ?cu¨¢l es el valor de x?

Logaritmos neperianos y decimales

Como vimos la semana pasada, la sexta de las siete operaciones, la radicaci¨®n, es la inversa de la potenciaci¨®n, puesto que esta consiste en hallar la potencia a partir de la base y el exponente, y aquella consiste en hallar la base a partir de la potencia y el exponente. Pero hay otra inversa de la potenciaci¨®n, consistente en hallar el exponente a partir de la base y la potencia, y esta es la s¨¦ptima operaci¨®n: la logaritmaci¨®n. Es decir, hallar la ra¨ªz cuadrada de 9 equivale a hallar el n¨²mero cuyo cuadrado es 9, o sea, a resolver la ecuaci¨®n x? = 9, mientras que la logaritmaci¨®n consiste en hallar el exponente conociendo la base y la potencia, es decir, en resolver una ecuaci¨®n de la forma 3? = 9.

Dicho de otro modo, el logaritmo de un n¨²mero n en base b es el exponente x al que hay que elevar la base para obtener el n¨²mero:

Logaritmo en base b de n = x significa que n = b?

Si la base es 10, los logaritmos se llaman decimales, y los valores 1, 2, 3¡­ se corresponden, obviamente, con las potencias de 10:

log?? 10 = 1, log?? 100 = 2, log?? 1000 = 3¡­

Los logaritmos fueron introducidos por el matem¨¢tico escoc¨¦s John Napier a principios el siglo XVII, con el prop¨®sito de simplificar los c¨¢lculos convirtiendo las multiplicaciones en sumas y las divisiones en restas con ayuda de unas listas de n¨²meros con sus logaritmos respectivos, las consabidas tablas de logaritmos (?puedes explicar por qu¨¦ los logaritmos permiten convertir las multiplicaciones en sumas?).

Pero Napier no us¨® el 10 como base de sus logaritmos, llamados logaritmos neperianos, sino el n¨²mero e (?qu¨¦ motivo crees que tuvo para ello?). Los logaritmos decimales, llamados tambi¨¦n comunes o vulgares, fueron desarrollados posteriormente por el matem¨¢tico ingl¨¦s Henry Briggs.

Si has entendido bien el concepto de logaritmo, no te ser¨¢ dif¨ªcil contestar estas preguntas:

?Cu¨¢les son los n¨²meros cuyos logaritmos decimales est¨¢n comprendidos entre 0 y 2?

?Cu¨¢l es el logaritmo decimal de 0,01?

Sabiendo que el logaritmo decimal de 3 es 0,477, ?cu¨¢l es el logaritmo decimal de 9? ?Y el de 30? ?Y el de 1/3?