Nuestro comentarista habitual Manuel Amor¨®s ha simplificado la resoluci¨®n del problema de los bueyes, planteado la semana pasada, de una ingeniosa manera que sin duda habr¨ªa agradado al propio Newton:

¡°Propondr¨¦ un procedimiento algebraico con el que no hay que romperse demasiado la cabeza. Supongamos que la altura inicial de la hierba es h y la velocidad de crecimiento semanal es v. Podemos entonces establecer las siguientes proporciones.

10/3(h + 4v)---------------12 bueyes---------------------4 semanas

10(h + 9v)------------------21 bueyes---------------------9 semanas

24(h + 18v)------------------x bueyes--------------------18 semanas

De las dos primeras se obtiene la relaci¨®n h = 12v

Finalmente podemos despejar x = 36

Utilizando el mismo procedimiento, creo que en el segundo caso 100 es la soluci¨®n¡±.

En la misma l¨ªnea de ahorro de energ¨ªa mental, Susana Luu dice:

¡°La aguja larga da una vuelta por hora y la aguja corta da una vuelta cada 12 horas. Supongamos que han transcurrido 5 minutos desde las 12 en punto. La aguja larga estar¨¢ en el minuto 5, pero la corta ya no est¨¢ en el minuto 0, sino un poco m¨¢s avanzada, por lo que no es un resultado v¨¢lido. Si dejamos transcurrir otros ¡°casi 5 minutos¡± (algo menos de 5 minutos), la aguja larga marcar¨¢ casi las 2, pero la aguja corta estar¨¢ ahora retrasada. De nuevo no es un resultado v¨¢lido, pero asumiendo continuidad, la aguja corta, que pasa de adelantada al resultado v¨¢lido a retrasada al resultado v¨¢lido, en alg¨²n momento mostrar¨¢ un resultado v¨¢lido. Es f¨¢cil calcular expl¨ªcitamente ese momento, pero no hace falta para saber que existe. El mismo razonamiento se aplica en todos los siguientes intervalos de 5 minutos, con la ¨²nica excepci¨®n de los dos intervalos diarios en los que llegamos a las 12 en punto. As¨ª habr¨¢ tantos momentos v¨¢lidos al d¨ªa como intervalos de 5 minutos hay en 24 horas menos 2. Total: 286¡å.

O sea, 143 cada 12 horas. Y Manuel Amor¨®s matiza:

¡°Cada posici¨®n soluci¨®n est¨¢ formada por la posici¨®n de dos agujas, pero el hecho de que las agujas coincidan no implica que sean dos soluciones en una, se trata de UNA soluci¨®n como cualquier otra. Lo que s¨ª que ocurre es que hay otra soluci¨®n que tambi¨¦n da como resultado la misma posici¨®n de las agujas en el punto inicial, luego en efecto hay 43 soluciones¡±. ?Cu¨¢l es esa otra soluci¨®n?

Por su parte, Francisco Montesinos considera que el movimiento del minutero no es continuo (reloj el¨¦ctrico), sino que se mueve a saltos de un minuto (reloj mec¨¢nico), lo que introduce una interesante variante (ver comentarios de la semana pasada).

Las otras tres operaciones

Puesto que ¨²ltimamente hemos resuelto (o al menos lo hemos intentado) varios problemas algebraicos, es un buen momento para recordar que, al pasar de la aritm¨¦tica elemental al ¨¢lgebra, las consabidas ¡°cuatro operaciones¡± ya no suelen ser suficientes. Del mismo modo que una suma con el sumando repetido es una multiplicaci¨®n, una multiplicaci¨®n con el factor repetido es una potencia. Y del mismo modo que la suma tiene su operaci¨®n contraria en la resta y la multiplicaci¨®n en la divisi¨®n, la potenciaci¨®n tiene su contraria en la radicaci¨®n, o sea, la obtenci¨®n de ra¨ªces cuadradas, c¨²bicas, etc. Ya van seis operaciones¡­ ?Cu¨¢l es la s¨¦ptima? (Aunque no lo recuerdes, puedes deducirlo extrapolando lo anterior).

Mientras te lo piensas, aqu¨ª tienes tres problemillas relativos a la sexta operaci¨®n:

?Qu¨¦ es mayor, la ra¨ªz quinta de 5 o la ra¨ªz cuadrada de 2?

?Qu¨¦ es mayor, la ra¨ªz cuarta de 4 o la ra¨ªz s¨¦ptima de 7?

?Qu¨¦ es mayor, ¡Ì7 + ¡Ì10 o ¡Ì3 + ¡Ì19?

En los tres casos se trata de hallar la soluci¨®n mentalmente (o, si no puedes prescindir de papel y l¨¢piz, efectuando solo operaciones aritm¨¦ticas muy sencillas).