Los desconcertantes n¨²meros an¨®malos

Nuestro comentarista habitual Rafael Granero da las siguientes respuestas a las preguntas de la semana pasada:

Los n¨²meros cuyos logaritmos decimales est¨¢n comprendidos entre 0 y 2 son aquellos que se encuentran entre 1 y 100. Esto se debe a que:

logd(1) = 0

logd(100) = 2

Por lo tanto, cualquier n¨²mero x que cumpla 1 < x < 100 tendr¨¢ un logaritmo decimal entre 0 y 2.

Logaritmo decimal de 0,01

El logaritmo decimal de 0,01 es -2.

Esto se puede entender de la siguiente manera: logd(0,01) = logd(1/100) = logd(1) ¨C logd(100) = -2

Logaritmos decimales de 9, 30 y 1/3

Sabiendo que logd(3) = 0,477, podemos calcular los dem¨¢s:

Logaritmo decimal de 9: logd(9) = logd(3^2) = 2 * logd(3) = 2 * 0,477 = 0,954

Logaritmo decimal de 30: logd(30) = logd(3 * 10) = logd(3) + logd(10) = 0,477 + 1 = 1,477

Logaritmo decimal de 1/3: logd(1/3) = logd(1) ¨C logd(3) = -0,477

Por su parte, Manuel Amor¨®s encuentra de esta ingeniosa manera el valor de x cuando x elevado a la potencia x3 es igual a 3:

x^(x^3) = 3

(x^(x^3))^3 = 3^3

(x^3)^(x^3) = 3^3

x^3 = y

y^y = 3^3

y = 3, ergo x = ra¨ªz c¨²bica de 3

Y Bretos Burs¨® propone una interesante interpretaci¨®n del n¨²mero e, base de los logaritmos neperianos que, aunque solo es apta para personas con ciertos conocimientos matem¨¢ticos, no he resistido la tentaci¨®n de incluirla:

Supongamos que vemos c¨®mo se forma al azar una fila de personas arbitrariamente larga, y que somos capaces de distinguir siempre, dadas dos personas, cu¨¢l es la m¨¢s alta (por peque?¨ªsima que sea la diferencia). Contamos la cantidad de personas que llegan hasta que la ¨²ltima en hacerlo es m¨¢s alta que la pen¨²ltima (dicha cantidad ser¨¢ siempre mayor o igual a 2). Entonces:

- el valor esperado o promedio de esta cantidad variable es el n¨²mero e.

- la probabilidad de que esa ¨²ltima persona sea adem¨¢s m¨¢s alta que todas las anteriores es e-2.

(Cada una de las dos afirmaciones anteriores equivale a que la suma de la serie de 1/n! para n = 0, 1, 2, 3¡­ es el n¨²mero e).

La ley de los n¨²meros an¨®malos

Como vimos, las tablas de logaritmos, al permitir la conversi¨®n de las multiplicaciones en sumas y de las divisiones en restas, facilitaban considerablemente los c¨¢lculos cuando no hab¨ªa ordenadores; pero hace mucho que cayeron en desuso, junto con las maravillosas reglas de c¨¢lculo que asomaban en el bolsillo superior de todo ingeniero que se preciara.

En el siglo XIX, las tablas de logaritmos estaban entre los manuales m¨¢s consultados de cualquier biblioteca t¨¦cnica o cient¨ªfica, y ese uso continuo permiti¨® al gran astr¨®nomo y matem¨¢tico Simon Newcomb darse cuenta de que las primeras p¨¢ginas de todas las tablas que examin¨® mostraban m¨¢s se?ales de uso que las siguientes, y que el nivel de uso decrec¨ªa regularmente a medida que se pasaban las p¨¢ginas. Eso significaba que hab¨ªa m¨¢s n¨²meros consultados que empezaban por 1 que por cualquier otra cifra, seguidos en cantidad por los que empezaban por 2, a continuaci¨®n ven¨ªan los que empezaban por 3¡­

A partir de sus observaciones, Newcomb enunci¨® una ley sobre la frecuencia de los n¨²meros en relaci¨®n con las mantisas (partes decimales) de sus logaritmos, que le permiti¨® estimar que la probabilidad de que un n¨²mero tomado del mundo real empiece por 1 es de aproximadamente el 30 %, la de que empiece por 2 es del 18 %, la de que empiece por 3 es del 12 %¡­ y as¨ª, siempre decreciendo, hasta llegar al 9, cuya probabilidad de encabezar un n¨²mero no llega al 5 %.

Las contraintuitivas conclusiones de Newcomb cayeron en el olvido hasta que, en 1938, el ingeniero estadounidense Frank Benford, tras comprobar m¨¢s de 20.000 n¨²meros de 20 muestras diferentes (tales como n¨²meros de habitantes de una lista de ciudades, cotizaciones de bolsa, constantes f¨ªsicas, pesos moleculares, tasas de mortalidad, n¨²meros de direcciones postales¡­), enunci¨® la que denomin¨® ¡°ley de los n¨²meros an¨®malos¡±, hoy conocida como ley de Benford (aunque algunos preferimos llamarla ley de Benford-Newcomb), seg¨²n la cual la primera cifra n en una muestra de n¨²meros tomados del mundo real aparece con una probabilidad dada por la f¨®rmula: logd(n+1) ¨C logd(n). (Por limitaciones tipogr¨¢ficas, el logaritmo decimal se indica como logd).

?No deber¨ªan las primeras cifras distribuirse de forma equiprobable entre los nueve d¨ªgitos (obviamente, se excluye el cero)? ?Por qu¨¦ es m¨¢s probable que el n¨²mero de habitantes de una ciudad empiece por 1 que por 9? ?Se te ocurre alguna explicaci¨®n para este resultado tan ¡ªaparentemente¡ª arbitrario?