Cien a?os de las ecuaciones que expandieron el universo

Hace 100 a?os, el matem¨¢tico y f¨ªsico ruso Alexander Friedmann (1888-1925) public¨® unas ecuaciones que hab¨ªa hallado estudiando la teor¨ªa relativista de Albert Einstein. Las llamadas ecuaciones de Friedmann fueron las primeras en describir un universo en movimiento; hasta el momento, nadie ¨Cni el propio Einstein¨C hab¨ªa concebido un universo ¨Ccon materia¨C en expansi¨®n. Aquello fue una ruptura te¨®rica similar a la que supuso la teor¨ªa de la evoluci¨®n de Charles Darwin o la teor¨ªa de la deriva continental de Alfred Wegener.

Friedmann destac¨® como matem¨¢tico en el instituto: ya entonces public¨®, en una revista especializada, un art¨ªculo sobre los llamados n¨²meros de Bernoulli, que fue avalado por David Hilbert, una de las figuras m¨¢s destacadas de la matem¨¢tica internacional. En aquel periodo Friedmann fue, adem¨¢s, uno de los principales dirigentes de los estudiantes de ense?anza media en la huelga general que sigui¨® a la primera revoluci¨®n rusa de 1905.

En la universidad sigui¨® publicando resultados sobre matem¨¢ticas y f¨ªsica aplicadas a la hidrodin¨¢mica, la aerodin¨¢mica, la geof¨ªsica, la meteorolog¨ªa o la aerolog¨ªa ¨Cque estudia las capas superiores de la atm¨®sfera¨C. Sin embargo, su trabajo m¨¢s destacado fue en cosmolog¨ªa, es decir, en el estudio del universo al completo como un sistema f¨ªsico.

Pocos a?os antes, en 1915, Albert Einstein hab¨ªa establecido la base te¨®rica de la cosmolog¨ªa moderna: la relatividad general, que combinaba diversas ideas sobre la materia, el espacio y el tiempo con la teor¨ªa de la gravedad. Inicialmente, Einstein desarroll¨® su teor¨ªa pensando en estrellas, sistemas planetarios y otros sistemas aislados. Pero en 1917, se propuso aplicar sus ideas al universo en su conjunto, para tratar de llegar a un modelo consistente te¨®ricamente.

Busc¨® la soluci¨®n m¨¢s simple, asumiendo que la densidad del universo y la geometr¨ªa del mismo eran iguales en todas partes y tambi¨¦n que todas las direcciones eran equivalentes, es decir, consider¨® un cosmos homog¨¦neo e is¨®tropo. Adem¨¢s, estableci¨® ¨Cya que le parec¨ªa indiscutible¨C que el estado del universo, a nivel global, era invariable. Hasta el momento, la ciencia siempre lo hab¨ªa considerado de esta manera y las observaciones no parec¨ªan indicar lo contrario.

Al analizar sus ecuaciones sobre este modelo est¨¢tico, Einstein observ¨®, sorprendido, que no exist¨ªan soluciones: no hab¨ªa valores de densidad ni geometr¨ªas constantes en el espacio, que tambi¨¦n permaneciesen constantes en el tiempo, que cumplieran sus ecuaciones. Para remediarlo, modific¨® las ecuaciones originales, a?adiendo lo que llam¨® t¨¦rmino cosmol¨®gico, que s¨ª permit¨ªa obtener soluciones est¨¢ticas.

El mismo a?o, el astr¨®nomo holand¨¦s Willem De Sitter hall¨® otra posible soluci¨®n a las ecuaciones de Einstein: un universo vac¨ªo, desprovisto de toda materia. Este resultado alert¨® al alem¨¢n: seg¨²n su concepci¨®n, la geometr¨ªa del cosmos estaba creada por la distribuci¨®n de la materia y, en ausencia de esta, las ecuaciones no deber¨ªan tener sentido alguno.

En 1922 Friedmann empez¨® a trabajar en el problema y aunque s¨ª asumi¨®, como sus colegas, que el universo era homog¨¦neo e is¨®tropo, no consider¨® que fuese est¨¢tico. De forma ordenada, analiz¨® las ecuaciones bajo estas hip¨®tesis y encontr¨®, por un lado, la soluci¨®n est¨¢tica de Einstein y la soluci¨®n del universo vac¨ªo de De Sitter y, por otro, soluciones de un universo con materia en movimiento. Entre ellas, hab¨ªa una gran variedad de casos: aquellos en los que, con el paso del tiempo, el radio de curvatura se incrementa indefinidamente, o aquellos en los que lo hace de forma peri¨®dica ¨Cel universo se contrae a un punto y luego vuelve a incrementar su radio hasta cierto valor, para despu¨¦s contraerse de nuevo a un punto, y as¨ª sucesivamente¨C.

Aquello supon¨ªa un cambio radical en la concepci¨®n del cosmos: la evoluci¨®n, que ya se hab¨ªa asumido en las especies o la formaci¨®n de la Tierra, tambi¨¦n afectaba al universo en su conjunto. Y obtuvo, incluso, una primera aproximaci¨®n de la edad del universo, de diez mil millones de a?os ¨Csolo tres mil millones por debajo del valor aceptado en la actualidad¨C. Sin embargo, como Friedmann reconoc¨ªa, en aquel momento sus modelos eran solo construcciones te¨®ricas y no estaban respaldados por las observaciones experimentales disponibles.

Tres meses despu¨¦s de la publicaci¨®n de los trabajos de Friedmann, Einstein respondi¨® con un art¨ªculo en la misma revista, en el que afirmaba que el resultado principal del ruso era err¨®neo. Pero, despu¨¦s de discutir en persona con Yuri Alexandrovich Krutkov, quien conoc¨ªa en detalle el trabajo de Friedmann, Einstein entendi¨® que las soluciones eran correctas y que, efectivamente, representaban otras posibles din¨¢micas del universo. Reconoci¨® su error en un art¨ªculo publicado en mayo de 1923.

En los siguientes a?os, se obtuvieron cada vez mejores observaciones de las velocidades de las galaxias y se concluy¨® que, la gran mayor¨ªa, aparentaba estar alej¨¢ndose de la nuestra, como public¨® el astr¨®nomo Edwin Hubble en 1929. El sacerdote y cient¨ªfico belga Georges Lema?tre conect¨® este alejamiento de las galaxias con las ecuaciones de Friedmann, concluyendo que el universo est¨¢ en expansi¨®n.

En 1931 Einstein termin¨® de convencerse del gran valor del trabajo de Friedmann. Es m¨¢s, consider¨® la introducci¨®n del t¨¦rmino cosmol¨®gico, que hab¨ªa necesitado para obtener soluciones de un universo est¨¢tico, su mayor metedura de pata cient¨ªfica: una prueba de c¨®mo sus prejuicios le impidieron ver la expansi¨®n que se deduc¨ªa de sus ecuaciones.

Friedmann pudo librarse de aquella idea de un universo est¨¢tico, quiz¨¢s, en parte, por la sociedad y el momento hist¨®rico en el que particip¨®, sumamente cambiante y convulso. Naci¨® en San Petersburgo, fue profesor de Matem¨¢ticas y F¨ªsica en la Universidad de Petrogrado y muri¨® en Leningrado: la misma ciudad con tres nombres diferentes, debidos a los grandes cambios pol¨ªticos de la ¨¦poca. Por otro lado, su profundo conocimiento de la meteorolog¨ªa ¨Cque trata sistemas f¨ªsicos con muchos cambios bruscos¨C tambi¨¦n le pudo hacer considerar otro tipo de din¨¢micas para describir el cosmos, y aceptar que, como dijo el fil¨®sofo griego Her¨¢clito, ¡§todo fluye, nada permanece¡§.

Ernesto Nungesser es profesor de la Universidad Polit¨¦cnica de Madrid

?gata Tim¨®n G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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