Soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: un cambio a tiempo... merece la pena

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad que, un a?o m¨¢s, ha propuesto Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.

Recordemos brevemente en qu¨¦ consist¨ªa el desaf¨ªo. Le presento diez d¨¦cimos de loter¨ªa, uno con cada terminaci¨®n. Descarto el que tiene terminaci¨®n coincidente con la del n¨²mero que juega usted y a continuaci¨®n, sabiendo yo, pero no usted, cu¨¢l ha sido el Gordo, descarto tambi¨¦n cinco d¨¦cimos cuya terminaci¨®n no coincide con la del Gordo. Por ¨²ltimo, le ofrezco cambiar su d¨¦cimo por uno de los cuatro d¨¦cimos restantes, el que quiera. El desaf¨ªo era decidir si, desde el punto de vista exclusivamente de tener mayor probabilidad de ganar el reintegro, es ventajoso o no aceptar mi oferta y cambiar de n¨²mero.

La respuesta es que interesa cambiar de n¨²mero porque, haci¨¦ndolo, la probabilidad de obtener un reintegro pasa del 10% al 22,5%, m¨¢s del doble.

El motivo es el siguiente. Todas y cada una de las terminaciones tienen la misma probabilidad, el 10%, de coincidir con la del Gordo. Por tanto, si usted no acepta el cambio que le ofrezco tendr¨¢ un 10% de posibilidades de obtener el reintegro y un 90% de que no sea as¨ª (si el Gordo acaba en cualquier terminaci¨®n que no sea la suya). ?Qu¨¦ pasa si acepta mi oferta? Pues que con la misma probabilidad de antes, el 10%, su terminaci¨®n ser¨ªa la del Gordo y usted se equivocar¨ªa al cambiar. Pero con probabilidad 90% el Gordo habr¨¢ acabado en una de las nueve terminaciones que no son la suya y, adem¨¢s, como yo he desvelado que no han sido cinco de ellas (esta informaci¨®n adicional es esencial), concluimos que, con esa probabilidad del 90%, el reintegro habr¨¢ correspondido a una de las otras cuatro. No hay diferencia entre estas, de modo que la que usted, cambiando, elija, ser¨¢ la agraciada con probabilidad 90/4=22,5%, como hab¨ªamos dicho.

Obs¨¦rvese que no estamos diciendo que haya terminaciones que tienen m¨¢s probabilidad que otras de coincidir con la del Gordo, sino que es la informaci¨®n adicional la que crea la asimetr¨ªa. Quiz¨¢s se vea mejor si modificamos el juego y, en vez de descartar cinco de las terminaciones que no son la suya, descartamos ocho. En ese caso, si la terminaci¨®n agraciada no es la suya (digamos el 0), yo estoy obligado a retirar los ocho d¨¦cimos cuya terminaci¨®n no coincide con la del Gordo. Es decir, no cambiando usted ¡°apuesta¡± a que el reintegro ha ca¨ªdo en el 0, mientras que, cambiando, apuesta, ?en un solo movimiento!, por nueve posibilidades: que el reintegro corresponde al 1 y yo retiro las terminaciones del 2 al 9; que corresponde al 2 y yo retiro el 1 y las terminaciones del 3 al 9; que el Gordo ha acabado en 3 y yo retiro el 1, el 2 y del 4 al 9; etc. En resumen, no cambiando apuesta por un suceso que tiene probabilidad 10% mientras que, cambiando, apuesta simult¨¢neamente por nueve sucesos que, entre todos (que es lo que nos importa, tienen probabilidad 90%.

Por otro lado, si yo retirase los cinco d¨¦cimos adicionales (adem¨¢s del que tiene terminaci¨®n coincidente con la suya) sin saber en qu¨¦ ha acabado el Gordo, aquel cuya terminaci¨®n haya obtenido el reintegro podr¨ªa perfectamente estar entre los retirados. En ese caso, los diez d¨¦cimos (los que le ofrezco para cambiar y los que no) tendr¨ªan la misma probabilidad (10%) de ser el agraciado, y usted no ganar¨ªa nada cambiando. Sin el conocimiento adicional que proporciona el saber que los cinco d¨¦cimos que retiro no tienen reintegro, se recupera la simetr¨ªa.

Se han recibido en el plazo marcado m¨¢s de 240 soluciones, el 60% de ellas correctas. No hay grandes variaciones en el argumento, pero s¨ª en la forma de explicarlo (debo reconocer que casi todos los lectores han sido m¨¢s escuetos que yo, sin perder la claridad). Van desde quienes, como Elba P. V., Aitor H. o las alumnas de 6? de Primaria del Colegio de Fomento Montealto de Madrid, lo presentan en lenguaje cotidiano (sin f¨®rmulas), hasta quienes aprovechan toda la potencia de la probabilidad condicionada (por ejemplo, Enrique Jes¨²s M. S.), pasando por el uso de diversos diagramas (Carlos C. o Javier F., entre otros). No puedo dejar de mencionar el detallado an¨¢lisis del desaf¨ªo y sus generalizaciones que ha hecho la clase de 3? de ESO B del IES Duque de Rivas de Rivas Vaciamadrid (Madrid).

Entre las soluciones que no podemos considerar correctas, el error m¨¢s frecuente ha sido decir que, cambiando, la probabilidad de obtener el reintegro sube al 20%. En unos casos se utiliza la f¨®rmula casos favorables/casos posibles=1/5, sin caer en la cuenta de que los cinco casos no tienen la misma probabilidad (la de nuestro d¨¦cimo inicial sigue siendo el 10%) y por tanto esta f¨®rmula tan sencilla no es v¨¢lida. En otros, se hace notar ese 10%, y se atribuye un 20% a cada una de las otras cuatro opciones, pero entonces la suma de las probabilidades no ser¨ªa el 100%.

Varios lectores han hecho referencia a que el desaf¨ªo es una versi¨®n ¡°lotera¡± del Problema de Monty Hall, que ya ha sido tratado en este diario. Uno de ellos ha sido Jos¨¦ Mar¨ªa C. qui¨¦n, adem¨¢s, nos dice que para aclararlo, a ¨¦l le gusta plantearlo con 10 puertas, de las que se abren 8. ?Prometo que no he copiado su idea!

Tambi¨¦n hay quien nos ha indicado, como Eduardo F. C., que el juego sale al principio de la pel¨ªcula 21 Black Jack.

Y no podemos olvidar a quienes, tras resolver perfectamente el desaf¨ªo, han hecho comentarios ¡°psicol¨®gicos¡±, como Juan Carlos C. o Marco Antonio O. G., quienes sugieren que, ante una oferta as¨ª, la mayor¨ªa de las personas pensar¨ªan que seguro que s¨¦ que su n¨²mero es el agraciado (?no se f¨ªan de m¨ª!), y no lo cambiar¨ªan. O Laura G., que nos dice que ella juega con la esperanza de un premio mayor, y que se queda con su n¨²mero. No s¨¦ si es psicol¨®gico o m¨¢s bien sociol¨®gico, pero Rein G. y Mar¨ªa Jos¨¦ R. confiesan que ¡°el desaf¨ªo nos ha dado para un fin de semana completo de discusiones acaloradas, incluso en colas de supermercados¡±.

Como ya es tradici¨®n, tres de los autores de soluciones v¨¢lidas, Guillermo C., Jos¨¦ Luis P. y Mari G., recibir¨¢n, por cortes¨ªa de la RSME, sendos ejemplares del libro ?Resu¨¦lvelo! retos l¨²dicos para curiosos de las matem¨¢ticas, de James S. Tanton, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Conf¨ªo en que hayan disfrutado con el desaf¨ªo y agradezco los mensajes enviados junto a las soluciones, que son un incentivo para seguir proponiendo desaf¨ªos matem¨¢ticos. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, les deseo felices fiestas, suerte ma?ana con la loter¨ªa y, sobre todo, salud.

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