?Es tan raro el caso de los n¨²meros repetidos de la Bonoloto?

El pasado 11 de marzo la combinaci¨®n premiada en la Bonoloto result¨® ser casi id¨¦ntica a la que se hab¨ªa obtenido tan solo dos d¨ªas antes, el 9 de marzo. Se repitieron los n¨²meros del primer sorteo: 08, 21, 23, 40, 43, 47¡­ A excepci¨®n del 43, que pas¨® a ser un 28. Tambi¨¦n se repitieron el complementario (26) y el reintegro (7). Esta coincidencia hizo que saltaran todas las alarmas y comenzaron las acusaciones sobre la posible manipulaci¨®n del sorteo. Pero ?realmente es tan extra?o lo que ha sucedido?

La bonoloto es un sorteo donde los posibles resultados se cuentan por millones y la probabilidad de acertar una combinaci¨®n de las seis cifras es muy peque?a, mucho menor que la de ganar en la Loter¨ªa de Navidad: de una cada 13.983.816 veces o una probabilidad del 0,0000000715 o un 0,00000715%, dependiendo de c¨®mo lo queramos expresar.

Estas cifras nos dan la medida de la incertidumbre sobre la ocurrencia de un evento. Si usamos la expresi¨®n entre 0 y 1, 0 indica que el evento es imposible y 1 que el suceso ocurrir¨¢ seguro. El porcentaje muestra el n¨²mero de veces que el suceso ocurrir¨¢ si la situaci¨®n se repitiese 100 veces. Esta ¨²ltima interpretaci¨®n se conoce como frecuentista.

En los sorteos como la Bonoloto, cada nueva repetici¨®n es completamente independiente del resto. Esto implica que el sorteo no tiene memoria y que cada vez que se hace la extracci¨®n de los n¨²meros, una combinaci¨®n concreta tiene la misma probabilidad de salir. Quiz¨¢s nos habr¨ªa sorprendido menos si en lugar de salir los mismos n¨²meros hubiesen salido los consecutivos de todos ellos ¡ª09, 22, 24, 41, 44 y 48¡ª; o si hubiese salido una combinaci¨®n de n¨²meros donde todos fuesen pares, o todos fuesen primos¡­ Esto sucede por algo llamado ¡°la falacia del jugador¡±, un sesgo cognitivo que nos hace pensar que aquello que acaba de pasar es m¨¢s dif¨ªcil que vuelva a suceder.

La falacia del jugador es un sesgo cognitivo que nos hace pensar que aquello que acaba de pasar es m¨¢s dif¨ªcil que vuelva a suceder

Tambi¨¦n es verdad que seguramente, cuando nos sorprende tanto este resultado es porque lo estamos interpretando de otra forma. Si comparamos la probabilidad de que saliese ese n¨²mero ¡ªen general¡ª con la probabilidad de que saliese cualquier otro n¨²mero, evidentemente gana la segunda. Porque que saliese cualquier otro n¨²mero acumula la probabilidad de todos los valores, menos el que est¨¢ en cuesti¨®n y esa probabilidad es muy grande. En concreto 1 menos la probabilidad de una combinaci¨®n, lo que es pr¨¢cticamente 1. As¨ª, que s¨ª, visto as¨ª, era m¨¢s probable que saliese cualquier otro n¨²mero que el que ha salido. Pero eso, de nuevo, vale para cualquier combinaci¨®n.

Podr¨ªamos preguntarnos c¨®mo puede ser que haya pasado tan seguido en el tiempo. Seg¨²n las leyes de la probabilidad, ?cu¨¢ntos sorteos tienen que sucederse para que volvamos a ver un n¨²mero que ya ha salido? Una simplificaci¨®n muy burda de esto ser¨ªa lanzar una moneda y pensar en cuantas veces tendr¨ªa que lanzarla para que volviese a salir cara.

Teniendo en cuenta la probabilidad de una extracci¨®n concreta, el tiempo medio que debemos esperar para observar un valor, uno en concreto, sea el que sea, es de 13.983.816 sorteos. Nada sorprendente, teniendo en cuenta que ese es el n¨²mero de posibles combinaciones.

Era m¨¢s probable que saliese cualquier otro n¨²mero, pero eso vale para cualquier combinaci¨®n

Parece un mont¨®n de tiempo, ?no? Entonces s¨ª que es raro que haya pasado tan seguido¡­ Pues de nuevo, la respuesta es que no tanto. Porque cuando damos la media de una variable, tambi¨¦n conocida en probabilidad como el valor esperado, nuestra mente se hace a la idea de que la repetici¨®n se producir¨¢ cada cierto n¨²mero de sorteos y solo entonces. Es decir, pensamos que el n¨²mero de repeticiones se sit¨²a alrededor de ese n¨²mero de manera muy probable y los valores alejados de ese intervalo de tiempo, son muy poco probables.

Sin embargo, esto no es cierto en este caso, puesto que el tiempo entre repeticiones puede tomar cualquier valor con una probabilidad muy baja. De hecho, aunque su media sea una cifra concreta, los valores bajos ¡ªes decir, los tiempos cortos entre repeticiones¡ª tienen algo m¨¢s de probabilidad que aquellos m¨¢s altos, aunque, en todos los casos, la probabilidad es muy peque?a.

En definitiva, el evento era raro, s¨ª, pero como cualquier otro evento, cualquier otra combinaci¨®n y en cualquier otro momento. Esto, unido a la idea de que la explicaci¨®n m¨¢s simple es siempre la correcta, me lleva a creer que el ama?o del sorteo no es la posibilidad m¨¢s factible.

Anabel Forte es profesora titular de la Universidad de Valencia

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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