Caos, orden y preguntas no resueltas para Pi, el n¨²mero m¨¢s importante de las matem¨¢ticas

Hoy es el d¨ªa 14 de marzo, o si lo escribimos en formato num¨¦rico, el 3/14. Estas son las tres primeras cifras de uno de los n¨²meros m¨¢s c¨¦lebres, importantes y con m¨¢s historia de la ciencia. Estamos hablando del n¨²mero ¦Ð. Por este motivo hoy es el D¨ªa Internacional de las Matem¨¢ticas (con una p¨¢gina web muy recomendable). Este a?o la conmemoraci¨®n tiene como lema ¡°matem¨¢ticas para todo el mundo¡±, porque para entender el mundo actual todos necesitamos hablar en el lenguaje de las matem¨¢ticas. ¦Ð es una de las piezas clave del lenguaje de las matem¨¢ticas y todav¨ªa quedan muchas preguntas abiertas sobre este n¨²mero.

Se ha escrito largo y tendido sobre el n¨²mero ¦Ð desde los comienzos de la civilizaci¨®n. Y no es para menos: el mundo, tal y como lo entendemos, depende de manera cr¨ªtica de esta constante universal. Su definici¨®n es bien conocida: si tomamos un c¨ªrculo cualquiera de di¨¢metro 1, ¦Ð es la relaci¨®n entre su longitud y su di¨¢metro. Es independiente del c¨ªrculo que tomemos: se trata de un invariante geom¨¦trico universal. Pese a esta simple definici¨®n, expresar el n¨²mero ¦Ð de manera expl¨ªcita es muy complejo. En su expansi¨®n decimal no hay patrones num¨¦ricos evidentes. La estad¨ªstica m¨¢s sencilla que podemos estudiar es el n¨²mero de apariciones de un d¨ªgito dado.

Los resultados experimentales (tomando muchos d¨ªgitos en la expansi¨®n decimal de ¦Ð) parecen mostrar que cada d¨ªgito aparece un 10% de las ocasiones. Pero esto se trata ¨²nicamente de una conjetura: a fecha de hoy es una pregunta abierta saber si para cualquier truncamiento de la expansi¨®n decimal de los d¨ªgitos de ¦Ð, la proporci¨®n de cada uno de los d¨ªgitos es esencialmente la misma.

M¨¢s all¨¢ de la distribuci¨®n de los d¨ªgitos, otra pregunta interesante de la que se desconoce la respuesta es la siguiente: si tomamos un n¨²mero cualquiera (por ejemplo, el 44685035261931188171), ?es cierto que dicho n¨²mero aparece en la expansi¨®n decimal de ¦Ð? Todos los indicios y experimentos parecen indicar que s¨ª, pero a fecha de hoy no tenemos herramientas matem¨¢ticas que permitan responder a esta pregunta de forma general.

De ser cierto el resultado anterior podr¨ªamos decir que dentro de ¦Ð existe todo el conocimiento universal. Es as¨ª: si utilizamos un m¨¦todo de codificaci¨®n num¨¦rico para codificar las letras del alfabeto (por ejemplo, si codificamos la letra a mediante 00, la letra b mediante 01, y usamos los d¨ªgitos 99 para codificar el espacio en blanco), cualquier libro (escrito o todav¨ªa por escribir) se podr¨ªa codificar con un n¨²mero muy largo, pero finito. Si cualquier patr¨®n est¨¢ contenido en la expansi¨®n de pi, podr¨ªamos encontrar el Quijote, las obras perdidas de Arist¨®teles y todas las novelas que est¨¢n por escribir hasta el fin de la humanidad, aun teniendo que tomar un n¨²mero inimaginable de cifras.

Esto parece se?alar que el caos impera en la expansi¨®n de ¦Ð . Sin embargo, lo realmente bello es que existen multitud de expresiones del n¨²mero ¦Ð donde reinan el orden y los patrones. Empezando por el producto infinito de Wallis, una f¨®rmula demostrada en el a?o 1655 que afirma que

O, con sumas en lugar de productos, la llamada f¨®rmula de Leibniz, deducida en el siglo XVII por el matem¨¢tico alem¨¢n que le da su nombre:

Y, no nos podemos olvidar de la que es quiz¨¢s la f¨®rmula m¨¢s importante de las matem¨¢ticas, la f¨®rmula de Euler, que relaciona los cinco n¨²meros m¨¢s importantes: el 0, el 1, el n¨²mero ¦Ð, el n¨²mero e (la base de los logaritmos neperianos) y la unidad imaginaria i.

Estos son solo tres ejemplos que muestran la ubicuidad del n¨²mero ¦Ð en el universo matem¨¢tico, y que ejemplifican la belleza y la armon¨ªa de las matem¨¢ticas en un d¨ªa de celebraci¨®n para nuestra comunidad.

Juanjo Rue es profesor agregat del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universitat Polit¨¨cnica de Catalunya (UPC), miembro del Instituto de Matem¨¢ticas de la UPC (IMTech) e investigador adscrito al Centre de Recerca Matem¨¤tica (CRM).

?gata Tim¨®n G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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