El trabajo que cambi¨® la din¨¢mica de los fluidos cumple 100 a?os

En 1923 se public¨® Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders, un texto revolucionario firmado por el matem¨¢tico y f¨ªsico Geoffrey Ingram Taylor (1886, Londres- 1975, Cambridge). La investigaci¨®n plasmada en ¨¦l abri¨® nuevas v¨ªas para entender los patrones que aparecen en un flujo, como los que se observan en el movimiento del oc¨¦ano. Un siglo despu¨¦s, el trabajo contin¨²a proporcionando una base s¨®lida para una amplia gama de estudios cient¨ªficos y aplicaciones pr¨¢cticas. Por ejemplo, es clave para comprender c¨®mo se desarrolla la turbulencia a partir de un flujo estable, es decir, c¨®mo se pasa de un flujo ordenado a otro ca¨®tico y en continuo cambio.

El art¨ªculo supone el comienzo de la llamada teor¨ªa de la estabilidad hidrodin¨¢mica. Esta rama de la f¨ªsica y las matem¨¢ticas trata de entender las inestabilidades en un fluido, peque?as perturbaciones que hacen que el flujo se desv¨ªe de su estado inicial y evolucione hacia una configuraci¨®n diferente. Se forman, por ejemplo, al friccionar un fluido en movimiento y una superficie s¨®lida y pueden amplificarse con el tiempo y provocar cambios notables en el flujo, como la aparici¨®n de v¨®rtices o remolinos.

Durante siglos, f¨ªsicos y matem¨¢ticos trataron de encontrar un criterio para detectar el momento en el que aparecen las inestabilidades, a partir de las propiedades del fluido y las ecuaciones y par¨¢metros que describen su movimiento. La teor¨ªa de Lord Rayleigh supuso un primer paso para resolver esta cuesti¨®n: ofreci¨® un modelo te¨®rico para predecir la estabilidad de un fluido sin viscosidad ¡ªes decir, que no presenta resistencia a fluir¡ª. En particular, demostr¨® que el flujo es estable siempre que se satisfaga cierta condici¨®n ¡ªel cuadrado del momento angular por unidad de masa del fluido aumenta hacia afuera¡ª. Esto significa que, si solo gira el cilindro interior, el flujo es inestable, mientras que, si gira ¨²nicamente cilindro exterior, es estable.

En 1890, el f¨ªsico Maurice Couette public¨® su tesis doctoral sobre la fricci¨®n entre un fluido en movimiento y una superficie s¨®lida. Para poder medir la viscosidad, dise?¨® un dispositivo experimental formado por dos cilindros conc¨¦ntricos ¡ªuno interior, fijo, y otro exterior, giratorio¡ª con l¨ªquido entre medio. Al rotar el cilindro exterior, se generaba un flujo en el fluido y pod¨ªa cuantificar la fricci¨®n producida, es decir, su viscosidad. Su aporte fue tan importante que, pronto, el nombre de Couette se asoci¨® a los flujos que estudi¨®. Casi al mismo tiempo, y de forma independiente, Arnulph Mallock, maestro en construir experimentos, describi¨® la inestabilidad centr¨ªfuga que ocurre cuando el cilindro interior rota y el exterior permanece quieto.

El siguiente paso era unir estas observaciones experimentales con la formalizaci¨®n matem¨¢tica de Rayleigh. Fue precisamente lo que hizo Geoffrey Ingram Taylor, que se dio cuenta de que, en el caso de fluidos no viscosos, los experimentos coincid¨ªan con la teor¨ªa. Taylor, nieto del c¨¦lebre matem¨¢tico George Boole, escribi¨®: ¡°Parece dudoso que podamos comprender completamente la inestabilidad del flujo de un fluido sin obtener una representaci¨®n matem¨¢tica del movimiento de un fluido en alg¨²n caso particular en el que se pueda observar la estabilidad real¡±. Por tanto, para empezar a entender ¡ªcon las herramientas matem¨¢ticas de Rayleigh¡ª las inestabilidades del flujo de Couette, era esencial encontrar un buen ejemplo que analizar.

Taylor consider¨® que no solo uno, sino que los dos cilindros conc¨¦ntricos rotan. Construy¨® el dispositivo y con ¨¦l, y el uso de herramientas matem¨¢ticas, predijo la estabilidad del fluido. Para ello, linealiz¨® las ecuaciones de Navier-Stokes ¡ªque describen el comportamiento de un fluido¡ª. Es decir, asumi¨® que las perturbaciones eran lo suficientemente peque?as como para despreciar parte de los t¨¦rminos en la ecuaci¨®n, y encontr¨® soluciones de las ecuaciones que se corresponden con las inestabilidades observadas en los experimentos.

Las ecuaciones permiten tambi¨¦n determinar si crece la inestabilidad ¡ªes decir, si el flujo inestable puede dar lugar a formas m¨¢s complejas¡ª o disminuye con el tiempo ¡ªes decir, si el flujo quedar¨¢ estable, sin cambios¡ª. As¨ª, Taylor logr¨® describir te¨®ricamente el comportamiento del fluido, en funci¨®n de sus propiedades y de las velocidades de rotaci¨®n de los dos cilindros.

En 1923 public¨® en Philosophical Transactions of the Royal Society A su trabajo. La estrecha concordancia entre sus resultados te¨®ricos y experimentales no ten¨ªa precedentes en la historia de la mec¨¢nica de fluidos, por lo que el documento se describe como la primera prueba convincente de la aplicabilidad de los enfoques matem¨¢ticos para predecir la estabilidad de un fluido.

Su trabajo conect¨® las matem¨¢ticas, la f¨ªsica y la ingenier¨ªa y, en los siguientes a?os, fue utilizado en numerosos estudios relacionados con la estabilidad, los flujos astrof¨ªsicos y geof¨ªsicos, la din¨¢mica no lineal o los aspectos fundamentales de la turbulencia. Desde entonces, este flujo ¡ªllamado de Taylor¡ªCouette¡ª ha sido ampliamente estudiado y ha brindado una valiosa plataforma para explorar y comprender los principios b¨¢sicos que rigen el comportamiento de los fluidos en rotaci¨®n.

Prueba de ello es la reuni¨®n bianual que se celebra desde hace m¨¢s de 40 a?os, donde se junta una comunidad internacional creciente interesada en los diversos patrones de flujo observados en el aparato de Taylor¡ªCouette. El pasado verano, el encuentro tuvo lugar en Barcelona, donde el 100 aniversario de la publicaci¨®n de Taylor fue la excusa para seguir hablando de inestabilidades, v¨®rtices y fascinantes patrones geom¨¦tricos.

Jezabel Curbelo es investigadora Ram¨®n y Cajal del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universitat Polit¨¨cnica de Catalunya (UPC) y miembro del Instituto de Matem¨¢ticas de la UPC (IMTech) y del Centre de Recerca Matem¨¤tica (CRM).

?gata Tim¨®n Garc¨ªa¡ªLongoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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