Y la geometr¨ªa se hizo carne

Los legos vemos las matem¨¢ticas como una invenci¨®n. Los matem¨¢ticos suelen verlas como un descubrimiento. Para ellos un grupo abeliano, un espacio vectorial o un n¨²mero imaginario son objetos reales, cosas que ya exist¨ªan antes de que su inventor las concibiera y que seguir¨¢n ah¨ª tras su muerte, como los edificios y las monta?as. Quiz¨¢ se trate de una especie de deformaci¨®n profesional, pero incluso si es as¨ª merece una reflexi¨®n, porque son las propias matem¨¢ticas las que persuaden al matem¨¢tico de su naturaleza corp¨®rea, con su autoconsistencia, su poder creativo y su desconcertante capacidad para predecir el mundo.

Dos rectas que son paralelas aqu¨ª seguir¨¢n siendo paralelas por m¨¢s que las prolonguemos. Esta afirmaci¨®n tan simple e intuitiva se llama quinto postulado de Euclides y se public¨® hace 2.300 a?os, es el fundamento de la geometr¨ªa convencional. Significa que el espacio es plano, lo que se corresponde muy bien con nuestra percepci¨®n cotidiana del mundo. Por eso Euclides la plante¨® como un axioma, una verdad tan obvia que no requiere demostraci¨®n.

Pero ahora veamos a dos exploradores distantes que emprenden un viaje hacia el Norte desde el ecuador terrestre. Al principio sus trayectorias son paralelas, pero poco a poco se van acercando hasta que se dan de bruces al llegar al Polo. Sobre la superficie terrestre, dos rectas que son paralelas aqu¨ª no siguen si¨¦ndolo all¨ª. Y esto no es una complicaci¨®n fastidiosa del ordenado mundo de Euclides, pues la geometr¨ªa de las superficies esf¨¦ricas conduce a una teor¨ªa perfectamente autoconsistente y fruct¨ªfera. Una geometr¨ªa no eucl¨ªdea, donde el espacio no es plano sino curvo, pero una geometr¨ªa de pleno derecho.

El gran matem¨¢tico del siglo XIX Carl Friedrich Gauss, como varios colegas antes que ¨¦l, estaba convencido de que el quinto axioma de Euclides, el postulado de las paralelas, no era un verdadero axioma. Bastaba eliminarlo para que surgieran unos objetos matem¨¢ticos coherentes e interesantes, unas cosas que parec¨ªan pertenecer al mundo real. Le encarg¨® una investigaci¨®n a fondo a su disc¨ªpulo Bernhard Riemann y de all¨ª surgi¨® la arquitectura matem¨¢tica poderosa y elegante que permiti¨® a Einstein, medio siglo despu¨¦s, formular la relatividad general, un mundo no eucl¨ªdeo en el que, como dijo el f¨ªsico John Wheeler, la materia le dice al espacio c¨®mo curvarse y el espacio le dice a la materia c¨®mo moverse. Vivimos en ese mundo, de manera que somos la geometr¨ªa de Riemann hecha carne.

Todo esto es culpa de Galileo, en el fondo. Fue ¨¦l quien percibi¨® con claridad, y promulg¨® con vehemencia, que la naturaleza nos habla en el lenguaje de las matem¨¢ticas. Los cient¨ªficos no hacen ahora m¨¢s que ver fractales por todas partes, pero nadie los ve¨ªa hasta que los invent¨® el matem¨¢tico Georg Cantor. Fibonacci no imagin¨® la serie que lleva su nombre, donde cada n¨²mero es la suma de los dos anteriores, para explicar la forma del caracol, pero el caso es que lo hace con precisi¨®n. El premio Nobel Roger Penrose piensa que la vida debe basarse en unas leyes matem¨¢ticas muy precisas para reproducir unas formas tan complejas e intrincadas a partir de una sola c¨¦lula. Los objetos matem¨¢ticos no solo existen, sino que cada vez existen m¨¢s.