Los teoremas que impulsan el dise?o aeron¨¢utico moderno

La aeron¨¢utica moderna ha transformado radicalmente la forma en que vivimos y conectamos con el resto del mundo. Las matem¨¢ticas han sido el motor silencioso que impulsa la aeron¨¢utica desde sus or¨ªgenes hasta las alturas inimaginables de la modernidad. Para lograr un dise?o eficiente y seguro de las aeronaves es necesario un conocimiento profundo de la aerodin¨¢mica, la resistencia al avance, la estabilidad y el control, en base a principios matem¨¢ticos fundamentales.

Por ejemplo, el famoso teorema de Euler para poliedros ¨Cpropuesto por el matem¨¢tico suizo en 1750¨C, actualmente es utilizado en el dise?o de estructuras aeron¨¢uticas, como marcos y celdas, para optimizar su rigidez y resistencia. El teorema establece una relaci¨®n fundamental entre los v¨¦rtices, aristas y caras de cualquier poliedro convexo ¨Cen concreto, que el n¨²mero de caras m¨¢s el n¨²mero de aristas es igual al n¨²mero de v¨¦rtices menos dos¨C. Pues bien, en la construcci¨®n de aviones ligeros y drones, esta f¨®rmula se emplea para calcular el n¨²mero m¨ªnimo de elementos estructurales ¨Ccomo vigas y paneles¨C necesarios para mantener la estabilidad y la integridad de la aeronave, teniendo en cuenta las fuerzas y las tensiones que act¨²an sobre ella. Tambi¨¦n es ¨²til en el dise?o de materiales compuestos utilizados en la construcci¨®n de aviones, como los llamados paneles honeycomb, ya que permite determinar la cantidad ¨®ptima de celdas hexagonales (caras) y los puntos de uni¨®n (v¨¦rtices) necesarios para equilibrar la resistencia y la ligereza del material.

Por otro lado, en el dise?o de aviones tambi¨¦n es primordial analizar el flujo de aire alrededor de la estructura, especialmente el c¨¢lculo de las fuerzas aerodin¨¢micas; las cuatro principales son el arrastre, la sustentaci¨®n, el peso y el empuje. Para estudiar de forma detallada la interacci¨®n de estas fuerzas sobre toda la superficie del avi¨®n se utiliza el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss). Este relaciona el flujo de un campo vectorial ¨Cque es la velocidad del aire en cada punto alrededor del avi¨®n¨C a trav¨¦s de una superficie cerrada con la divergencia del campo ¨Cque indica c¨®mo est¨¢ cambiando la velocidad del aire en cada punto, si es positiva el aire est¨¢ entrando en ese punto, si es negativa est¨¢ saliendo¨C.

Adem¨¢s, para poder pilotar las aeronaves, es necesario estudiar los controles de vuelo y la respuesta del aparato a diferentes fuerzas y perturbaciones. Para ello, se utilizan, entre otras cosas, las transformadas integrales ¨Cque permiten expresar una funci¨®n como suma de otras, m¨¢s manejables¨C, como la transformada de Laplace o la de Fourier. La primera se utiliza para analizar la din¨¢mica de sistemas complejos, como las aeronaves y cohetes, sujetos a fuerzas variables en el tiempo y as¨ª comprender su comportamiento. Tambi¨¦n se emplea para modelar los sistemas de control que regulen el movimiento y la actitud de una nave de manera eficiente y precisa. Y adem¨¢s se aplica en el dise?o de la comunicaci¨®n por radio y sistemas de navegaci¨®n, utilizando filtros y sistemas de procesamiento de se?ales para eliminar ruido y mejorar la calidad de la comunicaci¨®n.

La transformada de Fourier se utiliza para descomponer una se?al en sus componentes de frecuencia, lo que, en la industria aeron¨¢utica, se aplica en el procesamiento de las se?ales generadas por sistemas de navegaci¨®n, sistemas de comunicaci¨®n y sensores a bordo, facilitando la detecci¨®n del ruido e interferencias, y mejorando la calidad de las se?ales. Por otro lado, se ocupa para analizar vibraciones ¨Ccausadas por los motores, turbulencias y cambios en las condiciones de vuelo¨C y descomponerlas en sus componentes de frecuencia, lo que es clave en el dise?o de sistemas de amortiguaci¨®n que garanticen la integridad estructural.

Tambi¨¦n es importante analizar riesgos y evaluar los sistemas de seguridad en los vuelos, para lo que se emplea el teorema de Bayes, un resultado fundamental de la teor¨ªa de la probabilidad propuesto hace m¨¢s de 250 a?os, que establece c¨®mo actualizar la probabilidad de un evento, despu¨¦s de conocer nuevos datos relevantes para el fen¨®meno estudiado. Por ejemplo, este teorema se aplica en el an¨¢lisis de datos de accidentes a¨¦reos y en la evaluaci¨®n de factores contribuyentes, como el clima, el mantenimiento y el error humano, para mejorar la seguridad de los vuelos futuros. Tambi¨¦n para procesar las alertas de sistemas de detecci¨®n de fallos en tiempo real de los aviones modernos, por ejemplo, para evaluar la probabilidad de que una alerta de sistema sea un falso positivo o un indicio real de un problema. Esto evita alarmas innecesarias que puedan distraer a los pilotos y, al mismo tiempo, garantiza que las alertas genuinas no se pasen por alto. As¨ª, es posible estimar la probabilidad de fallas y evaluar el rendimiento de los sistemas electr¨®nicos, mejorando la seguridad y la fiabilidad de las aeronaves.

Las matem¨¢ticas tambi¨¦n est¨¢n en la frontera tecnol¨®gica de la industria aeroespacial. Uno de los conceptos fundamentales en el desarrollo de aviones comerciales hipers¨®nicos es la transformaci¨®n de Prandtl-Glauert. Esta establece que, a velocidades cercanas a la velocidad del sonido, los efectos de comprensibilidad del aire se vuelven significativos y deben de tomarse en cuenta en los c¨¢lculos del arrastre y sustentaci¨®n de la aeronave, lo que, en los c¨¢lculos para velocidades normales, no se hace. Sin duda, en cualquier avance futuro que experimente la aeron¨¢utica, las matem¨¢ticas ser¨¢n una herramienta fundamental.

Yoshua D¨ªaz Interian es investigador predoctoral en el Instituto Polit¨¦cnico Nacional (M¨¦xico).

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT).

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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