50 a?os del cubo de Rubik: ?Es posible resolverlo si est¨¢ trucado?

En 1974 el profesor de arquitectura Ern? Rubik invent¨® una nueva herramienta para ilustrar conceptos geom¨¦tricos a sus alumnos de la Escuela de Artes Comerciales de Budapest. Medio siglo despu¨¦s, el cubo de Rubik no solo se ha convertido en uno de los juguetes m¨¢s vendidos de la historia, sino que tambi¨¦n ha generado una cultura detr¨¢s de ¨¦l. En todo el mundo existen distintos tipos de torneos centrados en el cubo, se han desarrollado numerosas modificaciones de su dise?o, e incluso ha suscitado preguntas de inter¨¦s para investigadores en matem¨¢ticas. Por ejemplo, si se truca el juego, despegando algunas de las pegatinas e intercambi¨¢ndolas o desmontando sus piezas y volvi¨¦ndolas a montar, ?podr¨¢ seguir resolvi¨¦ndose?

En el estudio del cubo de Rubik se emplea un ¨¢rea de las matem¨¢ticas denominada teor¨ªa de grupos. Este lenguaje permite describir abstractamente los movimientos del cubo y demostrar, por ejemplo, que el cubo original siempre se puede resolver (es, decir, poner cada cara de un ¨²nico color) en 20 movimientos o menos, independientemente de la disposici¨®n de partida. Pero, ?qu¨¦ pasa si se modifica un poco su dise?o?

Para responder esta pregunta, se utiliza el concepto de configuraci¨®n legal, que es cualquier estado del cubo de Rubik que se puede resolver. Todas ellas se pueden conseguir a partir del cubo resuelto, concatenando movimientos basados en rotar 90 grados una cara del cubo ¨Dsolo hay que invertir los pasos seguidos para resolverlo¨D. Hay un total de 43.252.003.274.489.856.000 configuraciones legales y cada una de ellas son un elemento de un objeto matem¨¢tico que llamamos grupo.

Con esta perspectiva, la pregunta anterior se traduce a comprobar si, al permitir movimientos nuevos ¨Dcomo, por ejemplo, intercambiar colores de piezas del cubo¨D se crean realmente nuevas configuraciones, que no est¨¢n dentro de ese grupo. Y si, por tanto, no podr¨ªan resolverse; o s¨ª: al trucar el cubo se obtiene otro elemento del grupo, es decir, una configuraci¨®n legal, resoluble.

Por ejemplo, si se despegan las 54 pegatinas de las piezas del cubo y se vuelven a pegar, aleatoriamente, ?podr¨ªamos haber pasado de un reto complicado a uno imposible? Los conocedores del cubo se dar¨¢n cuenta r¨¢pidamente de la respuesta: las configuraciones legales del cubo siempre cumplen ciertas reglas que ser¨ªa f¨¢cil romper despegando las pegatinas. Es decir, se pueden obtener estados no legales ¨Dirresolubles¨D de esta forma.

En concreto, en las configuraciones legales, los distintos tipos de piezas del cubo siguen reglas de colocaci¨®n concretas. Las categor¨ªas de piezas son: las que est¨¢n en el centro ¨Dque se llaman centros¨D, las que est¨¢n en el borde ¨Daristas¨D y, de estas segundas, las que hacen esquina ¨Desquinas¨D. En todo el cubo, las aristas tienen exactamente dos colores diferentes, y hay combinaciones imposibles, ya que las caras opuestas nunca comparten piezas.

En un cubo cl¨¢sico, el blanco es opuesto al amarillo, el verde al azul y el naranja al rojo. Por ejemplo, si en la cara superior est¨¢ el color blanco, el amarillo estar¨¢ en la capa inferior. Por esto, no hay aristas blanco-amarilla, verde-azul ni naranja-rojo. Las esquinas siguen una l¨®gica an¨¢loga y los centros deben mantener la misma distribuci¨®n que en el estado resuelto, ya que son inm¨®viles respecto de los movimientos de las caras.

Ahora bien, si al modificar el cubo se tiene cuidado de que los colores de las caras de las piezas sigan estas normas ¨Clo que es lo mismo que desmontar el cubo, en vez de intercambiar pegatinas, ya que se estar¨ªa respetando la coloraci¨®n de cada pieza¨C, ?se llega a una configuraci¨®n que, ahora s¨ª, siempre ser¨¢ posible de resolver? La respuesta sigue siendo negativa. De hecho, de todos los posibles cubos modificados de esta manera ¨Dque suman un total de 519.024.039.293.878.272.000 nuevas configuraciones¨D, solo uno de cada 12 puede resolverse.

Para hacer este c¨¢lculo, se emplea concepto de teor¨ªa de grupos relacionado con la paridad. Cada movimiento del cubo de Rubik ¨Dno solo la rotaci¨®n habitual del juego, sino tambi¨¦n el intercambio de las piezas¨D puede pensarse como una permutaci¨®n de las 20 piezas m¨®viles. Entre ellas, hay un tipo especial, llamada transposici¨®n, que consiste en intercambiar dos elementos y dejar el resto fijo. Se dice que una permutaci¨®n es par si se necesita un n¨²mero par de transposiciones para obtenerla. Pues bien, tan solo comprobando un sencillo criterio, que trata de la paridad de las permutaciones y otros conceptos b¨¢sicos, es posible determinar si una configuraci¨®n es legal o no.

Aplicando este criterio, es posible identificar todas las posibles modificaciones del cubo, resultantes de intercambiar las piezas, que s¨ª tienen soluci¨®n y llegar a la afirmaci¨®n anterior: el 91,7% de los cubos trucados nunca se podr¨¢n resolver. La paridad de las permutaciones juega un papel importante no solo en el cubo de Rubik, sino tambi¨¦n en otros puzles, como por ejemplo el puzle del 15 o en cuestiones m¨¢s profundas como la resoluci¨®n de ecuaciones algebraicas.

Yago Antol¨ªn es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid (UCM) y miembro del ICMAT.

Silvia Centenera es graduada en matem¨¢ticas por la UCM.

?gata Tim¨®n es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n, traducci¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT)