Logaritmos

Es f¨¢cil deducir el funcionamiento del ¨¢baco de Napier, del que nos ocup¨¢bamos la semana pasada, observando la ilustraci¨®n correspondiente: las casillas superiores de las tres varillas colocadas en el tablero componen el n¨²mero 423, y las casillas alineadas con la casilla 2 del borde del tablero componen claramente el producto 2 x 423 = 846. An¨¢logamente, junto a las sucesivas casillas del borde encontramos, respectivamente, los productos de 423 por 3, 4, 5¡­ Solo que en algunos casos tenemos que sumar en diagonal el n¨²mero superior de una casilla al inferior de la siguiente, que es el equivalente del consabido ¡°me llevo una¡± (o dos, o tres¡­).

El ¨¢baco neperiano permite convertir los productos en sumas y las divisiones en restas (una descripci¨®n detallada de su funcionamiento se puede encontrar, por ejemplo, en el ameno e instructivo blog Divermates), lo que lo emparenta con las tablas de logaritmos, tambi¨¦n inventadas por el matem¨¢tico escoc¨¦s John Napier a principios del siglo XVII.

Recordemos el concepto de logaritmo: el logaritmo de un n¨²mero n es la potencia p a la que hay que elevar otro n¨²mero b llamado base para obtener dicho n; o sea, n = b?. Si la base es 10, se denomina logaritmo decimal (tambi¨¦n llamado vulgar o com¨²n); as¨ª, log 100 = 2, ya que 100 = 10?. Si la base no es 10 (o e, como luego veremos) se indica a modo de sub¨ªndice; as¨ª, el logaritmo de 8 en base 2 es log? 8 = 3, ya que 8 = 2?.

La utilidad de los logaritmos consiste en que permiten convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en productos y las ra¨ªces en divisiones (?puedes demostrarlo a partir de la definici¨®n de logaritmo?), con lo cual, una vez confeccionadas unas tablas en las que se consignan los logaritmos de, digamos, los 10.000 primeros n¨²meros, se simplifican enormemente los c¨¢lculos que conllevan largas operaciones con n¨²meros grandes.

Sabiendo que el logaritmo decimal de 2 es aproximadamente 0.3 (m¨¢s precisamente 0.30102999566398, ya que las tablas suelen incluir catorce decimales, pero nos conformaremos con 0.3), a mis sagaces lectoras/es no deber¨ªa resultarles dif¨ªcil hallar:

log ¡Ì2

log 1/2

log 80

O, a la rec¨ªproca, hallar los n¨²meros a, b y c cuyos logaritmos decimales son respectivamente:

log a = 1.3

log b = 2.15

log c = 0.7

Logaritmos neperianos

En realidad, los logaritmos decimales, tambi¨¦n llamados comunes o vulgares por ser los m¨¢s usados, no fueron los primeros. Cuando Napier concibi¨® los logaritmos, us¨® como base el n¨²mero irracional e (2.718¡­), m¨¢s interesante que el 10 desde el punto de vista matem¨¢tico (?por qu¨¦?), pero menos pr¨¢ctico para las operaciones aritm¨¦ticas m¨¢s habituales, como comprendi¨® el cl¨¦rigo y matem¨¢tico ingl¨¦s Henry Briggs, que convenci¨® a Napier de la conveniencia de confeccionar una tabla de logaritmos decimales. El propio Briggs public¨® en 1624 una tabla con los logaritmos decimales de treinta mil n¨²meros naturales, con catorce decimales (una aut¨¦ntica proeza para la ¨¦poca).

Mis lectoras/es menos j¨®venes probablemente habr¨¢n llegado a manejar las tablas de logaritmos (por ejemplo, las de V¨¢zquez Queipo) y/o las reglas de c¨¢lculo basadas en los mismos principios, que, con la eclosi¨®n de las calculadoras electr¨®nicas y los ordenadores, han pasado a convertirse en piezas de museo, como el ¨¢baco de Napier o la calculadora de Burattini; pero si en la actualidad su utilidad pr¨¢ctica es nula, su inter¨¦s desde el punto de vista matem¨¢tico no ha deca¨ªdo, sino todo lo contrario.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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