Sucesiones no num¨¦ricas

Si en el problema ¡°turco¡± de la semana pasada los proyectos fueran 10, habr¨ªa 120 combinaciones distintas de 3 proyectos (10x9x8/3x2), por lo que las 100 personas participantes podr¨ªan dedicarse a una terna distinta cada una, en contra de lo que dice el enunciado. Si los proyectos son 9, hay 84 combinaciones distintas de 3 proyectos (9x8x7/3x2) y 126 combinaciones distintas de 4 proyectos (9x8x7x6/4x3x2), lo cual es compatible con el enunciado: no hay ternas distintas suficientes para las 100 personas, pero s¨ª cuaternas. Es f¨¢cil ver que con 8, 7 o 6 proyectos no se cumplen estas condiciones:

Con 8 proyectos habr¨ªa 8x7x6/3x2 = 56 ternas y 8x7x6x5/4x3x2 = 70 cuaternas distintas. Con 7 proyectos habr¨ªa 7x6x5/3x2 = 35 ternas y 7x6x5x4/4x3x2 = 35 cuaternas distintas (obs¨¦rvese que en este caso hay el mismo n¨²mero de ternas que de cuaternas). Con 6 proyectos habr¨ªa 6x5x4/3x2 = 20 ternas y 6x5x4x3/4x3x2 = 15 cuaternas distintas. Por lo tanto, y por exclusi¨®n, la respuesta es 9.

Y hablando de ternas, la semana pasada nos pregunt¨¢bamos qu¨¦ condici¨®n ha de cumplir un n¨²mero natural para poder formar parte de una terna pitag¨®rica; pues bien, cualquier n¨²mero natural puede formar parte de alguna de ellas, excepto el 1 y el 2. ?Por qu¨¦? ?Se puede relacionar esto de alguna manera con la famosa conjetura de Goldbach?

Con respecto a las sucesiones at¨ªpicas, asunto que suscit¨® bastante inter¨¦s (ver comentarios de la semana pasada), Salva Fuster propone el siguiente criterio para determinar que el siguiente n¨²mero de la sucesi¨®n 1, 2, 3, 4¡­ es 6: ¡°N¨²meros naturales ordenados ascendentemente cuyas expresiones escritas en castellano posean un n¨²mero de letras diferente al valor del n¨²mero¡±. Y de paso menciona un problema que aparece en el muy recomendable libro de Clara Grima En busca del grafo perdido:

Alicia y Blas son pareja y se re¨²nen a cenar con otras 4 parejas (llegan a la cena en pareja). Se saludan d¨¢ndose besos o d¨¢ndose la mano. Blas propone que, salvo ¨¦l, el resto apunte en un papel a cu¨¢ntas personas ha dado la mano. Mezcla los papelitos y observa que en cada uno de ellos hay un n¨²mero diferente. ?A cu¨¢ntas personas les ha dado la mano Alicia?

Sucesiones enga?osas

Volviendo a las sucesiones at¨ªpicas, las de la semana pasada incitaron a Mercedes S¨¢nchez a proponer este cl¨¢sico ¡°enga?alistos¡±, como ejemplo de secuencias que nos obligan a salirnos de los caminos algor¨ªtmicos trillados y echar mano de un poco de pensamiento lateral:

2, 10 12, 16, 17, 18, 19, 200¡­ ?Cu¨¢l es el n¨²mero siguiente?

Y otra lectora, la asidua Piciencia, propone otra en la misma l¨ªnea:

1, 2, 3, 4, 7, 10, 17, 24¡­

Y ya que estamos en ello, veamos algunas otras sucesiones ins¨®litas dando un paso m¨¢s en el camino de la atipicidad, pues ni siquiera son num¨¦ricas (o no de forma expl¨ªcita, pues en ¨²ltima instancia todo es n¨²mero, como dec¨ªan los pitag¨®ricos):

Huevo, gallina, vaca, mosca¡­

Esponja, avestruz, canguro, dingo¡­

Fresa, mandarina, lim¨®n, uva¡­

Enero, marzo, abril, junio¡­

Do, fa, la, mi¡­

Fa, la, re, mi¡­

Y un par m¨¢s off the record, solo para ¡°bibli¨®filos¡±:

Oseas, Joel, Am¨®s, Abd¨ªas, Jon¨¢s, Miqueas¡­

Oseas, Am¨®s, Miqueas, Joel, Abd¨ªas, Jon¨¢s¡­

?Qu¨¦ se puede decir de estas dos ordenaciones alternativas de los profetas menores?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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