La caja de Arqu¨ªmedes

En la variante m¨¢s sencilla del nim, mencionada la semana pasada, que consiste en ir retirando de 1 a 3 unidades de una fila de 20 ¨Dpongamos que son cerillas¨D, para ganar hemos de dejarle 5 a nuestro contrincante en nuestra pen¨²ltima jugada, pues entonces, coja las que coja, en la siguiente jugada le dejaremos la ¨²ltima cerilla. Y para dejarle 5, antes hemos de dejarle 9, y antes 13¡­ Es decir, gana quien va dejando sobre la mesa un m¨²ltiplo de 4 m¨¢s 1 cerillas. Y como al principio hay 20, si el primer jugador retira 3 y deja 17 (16 + 1) tiene asegurada la victoria.

En cuanto al tablero de ajedrez con 8 fichas por bando que avanzan por las columnas, es equivalente a una variante del nim con 8 filas de 6 cerillas en cada una y pudiendo retirar en cada turno todas las cerillas que se quiera de una misma fila. En este caso ganar¨ªa el segundo en jugar -pongamos que son las negras-, cuya estrategia consistir¨ªa en hacer el mismo movimiento que las blancas, pero en la columna sim¨¦trica respecto a la mitad del tablero.

Y con respecto a la ¡°partida de ajedrez perfecta¡±, en la que ambos jugadores juegan de la mejor manera posible, hay un ampl¨ªsimo consenso en que terminar¨ªa en tablas, unos pocos ¨Dpoqu¨ªsimos¨D expertos creen que ganar¨ªan las blancas y nadie piensa que pudiera haber una estrategia ganadora para las negras; pero no hay demostraciones rigurosas ni es probable que las haya en breve, dada la enorme complejidad del juego, cuyas posiciones posibles son del orden de los septillones.

El ostomachion

Y del familiar tablero cuadrado dividido en 64 casillas iguales a otro menos conocido -pero tambi¨¦n fascinante- dividido en 14 partes distintas y aparentemente caprichosas: el ostomachion, un rompecabezas milenario del mismo tipo que el tangram (aunque parece ser que ambos juegos se desarrollaron de manera independiente), conocido tambi¨¦n como loculus archimedius (cajita de Arqu¨ªmedes), pues el gran matem¨¢tico griego lo estudi¨® en el siglo III a. C., seg¨²n consta en una fragmentaria copia bizantina conocida como Palimpsesto de Arqu¨ªmedes.

Al igual que en el tangram, un primer desaf¨ªo consiste en desordenar las piezas y meterlas de nuevo en su cajita cuadrada, lo cual puede hacerse de distintas maneras (17.152, para ser exacto), y las piezas tambi¨¦n se pueden reordenar formando un rect¨¢ngulo (?de qu¨¦ dimensiones, si tomamos como unidad la doceava parte del lado del cuadrado?), as¨ª como numerosas siluetas m¨¢s o menos reconocibles, como las mostradas en la figura. El nombre del rompecabezas (literalmente ¡°batalla de huesos¡±) sugiere que en origen era un juego con piezas m¨®viles y reversibles para varios jugadores, que compet¨ªan para ver qui¨¦n lograba componer con mayor fidelidad determinadas siluetas.

Para formar cuadrados y rect¨¢ngulos puede servir una hoja de papel cuadriculado; pero para componer siluetas menos simples es conveniente recortar las piezas en una l¨¢mina de cart¨®n o comprar en una tienda especializada una versi¨®n en pl¨¢stico o madera. Largas e instructivas horas de diversi¨®n -o desesperaci¨®n- garantizadas.

Aunque, como primera providencia, invito a mis sagaces lectoras/es a calcular las ¨¢reas de todas y cada una de las piezas (con respecto a la mayor unidad que d¨¦ ¨¢reas enteras) y a sacar las conclusiones pertinentes.

Y como ¨²ltima cuesti¨®n, cabe preguntarse si es casual que el ostomachion tenga exactamente el doble de piezas que el tangram o¡­

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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