Probabilidades enga?osas

La conocida expresi¨®n ¡°la excepci¨®n que confirma la regla¡±, mencionada la semana pasada, no puede entenderse en sentido literal: las excepciones cuestionan o debilitan las reglas, y en el riguroso dominio de las matem¨¢ticas las invalidan. Como muchos proverbios y refranes, se trata de una expresi¨®n ¡°po¨¦tica¡±, que da a entender que el hecho de que percibamos algo como excepcional pone de manifiesto que lo contrario es lo m¨¢s habitual, es decir, la regla.

Por lo que respecta a otras versiones de la paradoja de Russell, mi favorita es la que podr¨ªamos denominar la versi¨®n bibliotecon¨®mica:

Llamemos autorreferentes (A) a los libros en cuyas p¨¢ginas se menciona el propio libro y no autorreferentes (NA) a los libros en los que no hay ninguna menci¨®n al propio libro. La mayor¨ªa son NA, pero los A tampoco son escasos, y hay ejemplos ilustres: en la segunda parte del Quijote, sin ir m¨¢s lejos, se alude a la aparici¨®n en forma de libro del episodio de los molinos de viento y otras haza?as de la primera parte, y Dante cita su propia obra en el canto XXIV del Purgatorio. Y ahora intentemos hacer el cat¨¢logo completo de los libros NA. ?Es el propio cat¨¢logo un libro A o NA? Si es NA, debe estar en el cat¨¢logo de los libros NA, y, por tanto, se menciona a s¨ª mismo, luego es A. Pero si es A no debe estar incluido en el cat¨¢logo de los NA¡­

Extraterrestres y reyes sexistas

Y para paradojas, las de la probabilidad, de las que nos hemos ocupado a menudo en entregas anteriores. Casualmente (o tal vez no), Ignacio Alonso subi¨® a la secci¨®n de comentarios de la semana pasada un acertijo de NMM que ha suscitado algunas dudas -y un largo debate- en cuanto a la forma de abordarlo:

Una flotilla de naves extraterrestres se lleva a todas las personas que hay en una casa siguiendo una estricta norma de separaci¨®n de sexos, de forma que en una misma astronave solo pueden ir hombres o solo mujeres. As¨ª que los tripulantes de la primera nave escogen a una persona al azar y luego a otra; si la segunda es del mismo sexo que la primera, escogen a una tercera, pero si es del otro sexo, la descartan y se van con una sola presa, y as¨ª sucesivamente hasta abducir a todos los presentes, que son 5 hombres y 8 mujeres. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que la ¨²ltima persona abducida sea una mujer?

Parece razonable pensar que cualquiera de las 13 personas de la casa tiene la misma probabilidad que cualquier otra de ser la ¨²ltima, y puesto que 8 de esas personas son mujeres, la probabilidad pedida es 8/13. Pero, ?por qu¨¦ tanto enunciado para una soluci¨®n tan simple? ?Hay alguna falacia en el razonamiento anterior?

Otros¨ª, tambi¨¦n cabe preguntarse cu¨¢l es el n¨²mero m¨ªnimo y m¨¢ximo de naves necesarias para completar la abducci¨®n, y cu¨¢l es el n¨²mero esperado.

Este problema recuerda al de aquel rey machista que quer¨ªa reducir la proporci¨®n de mujeres en su reino y, para ello, dict¨® una orden seg¨²n la cual todas las parejas deb¨ªan dejar de procrear en cuanto tuvieran una ni?a. De este modo, razon¨® el rey, habr¨ªa familias con varios hijos y a lo sumo una hija, pero ninguna con varias hijas, con lo que la proporci¨®n de varones aumentar¨ªa considerablemente. ?Cu¨¢l fue el resultado de su medida demogr¨¢fica?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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