El se?or del cero

Con respecto al primer acertijo de la semana pasada, nuestro ¡°usuario destacado¡± Salva Fuster comenta lo siguiente: ¡°Para el problema de las bolas de bingo consecutivas, las 20 primeras bolas son suficientes, pues la suma desde 1 hasta 14 coincide con la suma desde 15 hasta 20, siendo 105 en ambos casos. Para hallar m¨¢s casos basta con encontrar un n¨²mero triangular que sea el doble de otro n¨²mero triangular. Los t¨¦rminos que ocupen dichos n¨²meros en la sucesi¨®n de n¨²meros triangulares ser¨¢n precisamente la cantidad de bolas totales y la de bolas del primer grupo¡±.

Recordemos que los n¨²meros triangulares son aquellos tales que el n-simo de ellos es la suma de los n primeros n¨²meros naturales:

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 +3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

¡­

Por lo tanto, la secuencia de los n¨²meros triangulares es: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210¡­

Obs¨¦rvese que el 20? t¨¦rmino (210) es el doble del 14? (105), por lo que tenemos 20 bolas y las 14 primeras suman lo mismo que las 6 ¨²ltimas. Si no hubiera l¨ªmite para el n¨²mero de bolas del bingo, habr¨ªa infinitas soluciones; pero la siguiente soluci¨®n es con 119 bolas (las 84 primeras suman lo mismo que las 35 restantes), y como el bingo se juega con 75 o 90 bolas, esa soluci¨®n y las siguientes quedan descartadas.

En cuanto al problema de Brahmagupta, una soluci¨®n sencilla es 1, pues 1 es un cuadrado perfecto (de s¨ª mismo) y 8 veces 1 m¨¢s 1 es 9, que tambi¨¦n es un cuadrado perfecto. Es una soluci¨®n de la ecuaci¨®n de Pell (x? ¨C ny? = 1) para n = 8:

x? ¨C 8y?= 1, donde x = 3, y = 1 es una pareja de valores evidente.

?Hay otras soluciones para n = 8? ?Y para n = 2? (Sin contar la soluci¨®n trivial x= 1, y = 0).

El gran matem¨¢tico y astr¨®nomo indio Brahmagupta (590-670) probablemente fue el primero en utilizar de forma sistem¨¢tica el cero, representado como el peque?o c¨ªrculo que seguimos usando. Y, por cierto, El se?or del cero (Santillana, 2016) es el t¨ªtulo de una excelente novela juvenil de Mar¨ªa Isabel Molina sobre la llegada del sistema de numeraci¨®n posicional decimal a la C¨®rdoba de los califas.

Por ¨²ltimo, el problema del reba?o del Sol da lugar a un sistema de nueve ecuaciones diof¨¢nticas con ocho inc¨®gnitas (tantas como tipos de reses hay), f¨¢cil de plantear pero no de resolver sin ayuda de un ordenador. Como curiosidad, el dios Sol tiene, como m¨ªnimo, 50.389.082 cabezas de ganado. Y digo como m¨ªnimo porque hay infinitas soluciones enteras, m¨²ltiplos de esta.

La moneda y la cuadr¨ªcula

Otro ¡°usuario destacado¡±, Manuel Amor¨®s, propone el siguiente problema: se lanza una moneda sobre una cuadr¨ªcula en la que el espacio existente entre l¨ªneas paralelas coincide con el di¨¢metro de la moneda. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que la moneda caiga sobre un v¨¦rtice de la cuadr¨ªcula?

Un interesante problema que se presta a distintas ampliaciones; por ejemplo:

Si la moneda cubre un v¨¦rtice de la cuadr¨ªcula, su circunferencia corta las l¨ªneas en 4 puntos, por lo que la probabilidad pedida es la misma que la de que haya 4 puntos de intersecci¨®n (?o no?). ?Cu¨¢l es la probabilidad de que los puntos de intersecci¨®n de la circunferencia de la moneda y las l¨ªneas de la cuadr¨ªcula sean 3, 2, 1, ninguno?

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