El reba?o del sol

Nuestro jeque de la semana pasada, por despiste o tal vez para poner a prueba la astucia de sus hijos, no les leg¨® la totalidad del reba?o, pues 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18, y eso explica que el mul¨¢ recuperara su camello tras cederlo para que el reparto fuera posible sin trocear a ning¨²n animal.

En cuanto a la definici¨®n de ecuaci¨®n, por primera vez (pero supongo que no ser¨¢ la ¨²ltima) voy a dar la respuesta de un robot, pues nuestra comentarista habitual pi ciencia se la pidi¨® al ChatGPT y obtuvo lo siguiente:

- Una ecuaci¨®n es una expresi¨®n matem¨¢tica que establece una igualdad entre dos cantidades o expresiones.

- Definici¨®n en una sola palabra: igualdad.

- Un s¨ªmil f¨ªsico para visualizar una ecuaci¨®n podr¨ªa ser la balanza de pesar objetos. Si colocas el mismo peso en ambos lados de la balanza, estar¨ªas estableciendo una igualdad entre los pesos. De la misma manera, en una ecuaci¨®n, las expresiones a ambos lados del signo igual tienen el mismo valor.

Arthur C. Clarke se echar¨ªa a temblar (sol¨ªa decir que si invent¨¢bamos m¨¢quinas inteligentes, ser¨ªa lo ¨²ltimo que nos dejar¨ªan inventar). En otro orden de cosas, por la secci¨®n de comentarios de la semana pasada circul¨® un interesante problema, no apto para anaritmetos, del que ofrezco una variante un poco m¨¢s sencilla:

Tengo un cierto n¨²mero de bolas de bingo consecutivas, empezando por la 1, y observo que puedo agruparlas en dos grupos de bolas consecutivas que suman lo mismo. ?Cu¨¢ntas bolas tengo? (No vale la soluci¨®n trivial 3, pues aunque las bolas 1 y 2 suman lo mismo que la 3, no hay dos grupos de bolas, en plural).

La ecuaci¨®n de Pell

¡°Di, matem¨¢tico, ?cu¨¢l es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte, junto con la unidad, en otro cuadrado?¡±

Si lo hallas, habr¨¢s resuelto un famoso problema planteado por el matem¨¢tico indio Bhaskara en el siglo VII. Un problema que, con la notaci¨®n actual, expresar¨ªamos as¨ª: 8y? + 1 = x? , o sea, x? ¨C 8y? = 1, que es una ecuaci¨®n de Pell (que toma su nombre del matem¨¢tico ingl¨¦s del siglo XVII John Pell), cuya forma general es x? ¨C ny?= 1.

Mil a?os antes que Bhaskara, Arqu¨ªmedes ya hab¨ªa estudiado este tipo de ecuaciones en relaci¨®n con el denominado ¡°problema del ganado¡± o ¡°problema del reba?o del Sol¡±, que dice as¨ª:

En el reba?o del dios Sol hay toros blancos, negros, moteados y marrones, y vacas de los mismos cuatro tipos.

El n¨²mero de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros m¨¢s los marrones.

El n¨²mero de toros negros es igual a la cuarta m¨¢s la quinta parte de los moteados m¨¢s los marrones.

El n¨²mero de toros moteados es igual a la sexta m¨¢s la s¨¦ptima parte de los blancos m¨¢s los marrones.

El n¨²mero de vacas blancas es igual a un tercio m¨¢s un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras.

El n¨²mero de vacas negras es igual a la cuarta parte m¨¢s la quinta parte de la suma de los toros moteados m¨¢s las vacas moteadas.

El n¨²mero de vacas moteadas es igual a la quinta m¨¢s la sexta parte de la suma de los toros marrones m¨¢s las vacas marrones.

El n¨²mero de vacas marrones es igual a la sexta m¨¢s la s¨¦ptima parte de la suma de los toros blancos m¨¢s las vacas blancas.

La suma de los toros blancos y negros es un n¨²mero cuadrado (es decir, un cuadrado perfecto).

La suma de los toros moteados y marrones es un n¨²mero triangular (es decir, de la forma n(n+1)/2).

Parece ser que el problema se lo plante¨® Arqu¨ªmedes a su amigo Erat¨®stenes, y no es nada f¨¢cil. No intentes resolverlo por tanteo, pues, como corresponde al reba?o de un dios, hay varios millones de reses de cada tipo.

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