Set o no Set, esa es la cuesti¨®n

Si en el primer banquete de la semana pasada llamamos h, m y n, respectivamente, al n¨²mero de hombres, el de mujeres y el de ni?os, tenemos que:

h + m + n = 41

4h + 3m + n/3 = 40, o sea, 12h + 9m + n = 120

Si a la segunda ecuaci¨®n le restamos la primera, tenemos:

11h + 8m = 79, por lo que h < 7 (pues de lo cont...

Si en el primer banquete de la semana pasada llamamos h, m y n, respectivamente, al n¨²mero de hombres, el de mujeres y el de ni?os, tenemos que:

h + m + n = 41

4h + 3m + n/3 = 40, o sea, 12h + 9m + n = 120

Si a la segunda ecuaci¨®n le restamos la primera, tenemos:

11h + 8m = 79, por lo que h < 7 (pues de lo contrario no habr¨ªa mujeres)

3h + 8h + 8m = 8x9 + 7

3h = 8(9-h-m) + 7

3h = m¨²ltiplo de 8 + 7 = m¨²ltiplo de 8 + 15

h = m¨²ltiplo de 8 + 5

Pero h < 7, luego h = 5, y, por tanto, hay 5 hombres, 3 mujeres y 33 ni?os.

En cuanto al problema de Euler, nuestro comentarista habitual Bretos Burs¨® lo resolvi¨® as¨ª:

¡°Buscamos el n¨²mero de hombres h y de mujeres m, ambos enteros no negativos, que cumplen la ecuaci¨®n base 1000=19h+13 m. Por el enunciado, h debe ser mayor o igual que m. Como 1=13 x 3 - 19 x 2, tambi¨¦n se cumple que 1000 = 13 x 3000 - 19 x 2000. Si restamos esta ecuaci¨®n y la base, obtenemos que 13(3000-m) = 19(h+2000). Por ser 19 y 13 coprimos hay un entero k tal que 3000-m=19k y h+2000=13k. Es decir, m = 3000-19k y h=13k-2000. Para ser m mayor o igual que 0 debe ser k menor o igual que 3000/19, es decir k menor o igual que 157. Pero como h es mayor o igual que m sabemos que 13k-2000 es mayor o igual que 3000-19k, de donde k ha de ser mayor o igual que 5000/32 y, por tanto, k mayor o igual que 157. En definitiva, k=157, lo que da m=17 y h=41. Es decir, en el banquete hab¨ªa 41 hombres, y de ellos 17 estaban acompa?ados de sus mujeres¡±. (Francisco Montesinos, Manuel Amor¨®s y Juan Jos¨¦ Rodr¨ªguez propusieron interesantes alternativas de resoluci¨®n: ver comentarios de la semana pasada).

Obs¨¦rvese que el n¨²mero de hombres de este banquete es igual al n¨²mero total de comensales del anterior, lo que confirma (si cupiera alguna duda) que Euler plante¨® su problema a partir del estudiado por Tartaglia.

SET

El juego de cartas Set fue creado por la genetista Marsha J. Falco en 1974 y comercializado en 1991, y desde entonces ha sido reeditado, y merecidamente premiado, muchas veces. Falco estaba tratando de averiguar si la epilepsia en los perros era hereditaria, y para facilitar su trabajo dise?¨® unas tarjetas en las que utilizaba s¨ªmbolos para representar bloques de informaci¨®n gen¨¦tica. Y al darse cuenta de las divertidas posibilidades combinatorias de los distintos s¨ªmbolos, ide¨® el juego del Set.

Como su nombre indica (set es conjunto en ingl¨¦s), el Set es un juego en el que hay que formar conjuntos de tres cartas de acuerdo con una sencilla regla de agrupaci¨®n: han de ser las tres iguales o las tres distintas en cada una de sus cuatro caracter¨ªsticas, que son forma (¨®valo, onda o rombo), color (rojo, verde o morado), fondo (s¨®lido, rayado o blanco) y n¨²mero (una, dos o tres figuras).

En la ilustraci¨®n vemos tres ejemplos de conjuntos v¨¢lidos: en el primer caso, las tres cartas son iguales en color y en n¨²mero, y las tres son distintas en forma y fondo. En el segundo caso, las tres cartas son distintas en todas y cada una de las caracter¨ªsticas: n¨²mero, forma, fondo y color. En el tercer caso, son iguales en forma y distintas en fondo, color y n¨²mero.

En otra ocasi¨®n veremos con m¨¢s detalle las reglas y la mec¨¢nica de este interesante juego, as¨ª como sus variantes; pero, de momento, un par de preguntas sencillas (bueno, una sencilla y otra no tanto):

?De cu¨¢ntas cartas consta el Set? ?Cu¨¢ntos conjuntos diferentes se pueden formar con ellas?

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