Banquetes problem¨¢ticos

Es tentador pensar que nuestro oso de la semana pasada est¨¢ en el polo sur: caminas 10 kil¨®metros hacia el norte siguiendo un meridiano, luego otros 10 hacia el este por un paralelo, y finalmente otros 10 hacia el sur por otro meridiano para volver al punto de partida tras describir un elegante tri¨¢ngulo geod¨¦sico equil¨¢tero. De hecho, esta es la soluci¨®n que se da a menudo en las publicaciones en las que aparece este acertijo; pero hay un peque?o fallo: en la Ant¨¢rtida no hay osos y, por tanto, estamos en el ?rtico, 10 kil¨®metros al sur del paralelo, pr¨®ximo al polo norte, cuya longitud es de 10 kil¨®metros: llegamos hasta ¨¦l al caminar 10 kil¨®metros hacia el norte, lo recorremos entero al ir 10 kil¨®metros hacia el este y volvemos al punto de partida al ir 10 kil¨®metros hacia el sur. ?Puedes calcular la latitud del punto de encuentro con el oso? ?Es ¨²nica la soluci¨®n?

La cantidad de balas de ca?¨®n del segundo problema es f¨¢cil de calcular: en la base hay 15?, en el segundo nivel 14?, en el tercero 13? y as¨ª sucesivamente, por lo que en total habr¨¢:

15? + 14? + 13? + 12? + 11? + 10? + 9? + 8? + 7? + 6? + 5? + 3? + 2? + 1 = 1240

Es evidente que, para cualquier n¨²mero n de balas en el lado de la base de la pir¨¢mide, el n¨²mero total de balas es la suma de los cuadrados de los n primeros n¨²meros naturales; pero si n es grande las operaciones son largas y engorrosas, as¨ª que ?puedes hallar una f¨®rmula sencilla que d¨¦ la suma de los cuadrados de los n primeros n¨²meros?

Y, pasando de la aritm¨¦tica a la geometr¨ªa, ?puedes calcular la altura de la pir¨¢mide de balas, si suponemos que son esferas de 20 cm de di¨¢metro? Y, pasando de la geometr¨ªa a la f¨ªsica, ?por qu¨¦ no ruedan hacia fuera las balas/bolas del per¨ªmetro de la base?

En cuanto a las balanzas de brazos desiguales, la regla de la doble pesada mejora mucho la situaci¨®n para los clientes, pero sigue permiti¨¦ndoles a los mercaderes tramposos sisar un poco. En efecto, supongamos que los brazos de la balanza miden 9 y 10 pulgadas (u otras unidades cualesquiera) respectivamente y que pesamos 1 kilo de mercanc¨ªa; si la colocamos en el platillo del brazo corto y llamamos x al peso necesario para equilibrar la balanza, tendremos:

x/9 = 1/10, de donde x = 9/10 = 0,9

Si colocamos la mercanc¨ªa en el otro platillo y llamamos y al peso necesario para equilibrarla ahora:

y/10 = 1/9, de donde y = 10/9 = 1,111¡­

La media de ambas pesadas es 2,011/2 = 1,0055, por lo que el mercader tramposo cobra 5,5 gramos de m¨¢s por cada kilo de mercanc¨ªa que vende.

Banquetes heterog¨¦neos

Y puesto que hemos revisitado varios problemas de ingenio cl¨¢sicos, terminemos con uno que mereci¨® la atenci¨®n de matem¨¢ticos tan ilustres como Luca Pacioli y Niccol¨° Fontana, m¨¢s conocido como Tartaglia, y otro muy similar propuesto por Euler:

A un banquete asisten 41 personas, entre hombres, mujeres y ni?os, que gastan un total de 40 dracmas. Como los hombres comen m¨¢s que las mujeres y los adultos m¨¢s que los ni?os, cada hombre paga 4 dracmas, cada mujer paga 3 dracmas y cada ni?o paga 4 denarios. Sabiendo que una dracma equivale a 12 denarios, ?cu¨¢ntos hombres, mujeres y ni?os asisten al banquete?

Y, ahora sin ni?os, la variante de Euler:

Un grupo de hombres, algunos de ellos acompa?ados por sus esposas, gast¨® 1.000 dracmas en un banquete. Cada hombre pag¨® 19 dracmas y cada mujer 13. ?Cu¨¢ntos hombres y cu¨¢ntas mujeres hab¨ªa?

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