El teorema de Napole¨®n

Como vimos la semana pasada, los n¨²meros complejos, adem¨¢s de servir para descubrir tesoros enterrados, constituyen, a pesar de su incierto estatuto ontol¨®gico, una poderosa herramienta matem¨¢tica.

Con un abordaje similar al de la localizaci¨®n del tesoro enterrado, se pueden demostrar numerosos teoremas geom¨¦tricos, como el famoso ¡°teorema de Napole¨®n¡±. Las comillas indican que no hay que entender el nombre literalmente, pues es muy dudoso que el autor del teorema fuera realmente Napole¨®n Bonaparte. Coxeter y Greitzer, en su libro Geometry Revisited, afirman que ¡°la posibilidad de que Napole¨®n supiese suficiente geometr¨ªa como para obtener este resultado es tan cuestionable como que supiese suficiente ingl¨¦s como para componer el famoso pal¨ªndromo ABLE WAS I ERE I SAW ELBA (H¨¢bil fui antes de ver Elba)¡±. Es m¨¢s probable que el teorema fuera demostrado por su amigo Lorenzo Mascheroni, o por alg¨²n otro de los ilustres matem¨¢ticos con los que Bonaparte sol¨ªa relacionarse, como Laplace, Lagrange o Fourier. Y algunos opinan que podr¨ªan haberlo demostrado, cien a?os antes, Torricelli o Fermat, que estudiaron construcciones geom¨¦tricas muy similares. En cualquier caso, ha pasado a la historia como el teorema de Napole¨®n, y dice as¨ª:

Si sobre los tres lados de un tri¨¢ngulo cualquiera construimos sendos tri¨¢ngulos equil¨¢teros exteriores (o interiores), los centros de dichos tri¨¢ngulos son a su vez los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero (llamado tri¨¢ngulo de Napole¨®n).

Situando el problema en el plano complejo, como hicimos con el mapa del tesoro, es f¨¢cil demostrar el teorema; pero tambi¨¦n se puede atacar con otras herramientas, como la geometr¨ªa anal¨ªtica, la trigonometr¨ªa o a partir de determinadas simetr¨ªas. Invito a mis sagaces lectoras/es a intentar demostrar el teorema de Napole¨®n con su herramienta favorita.

Y tras demostrarlo -o darlo por demostrado- no es dif¨ªcil demostrar que el centro del tri¨¢ngulo de Napole¨®n coincide con el baricentro del tri¨¢ngulo original (recordemos que el baricentro, centroide o centro de gravedad de un tri¨¢ngulo es el punto de intersecci¨®n de sus medianas).

El problema de Napole¨®n

No hay que confundir el teorema de Napole¨®n con el problema de Napole¨®n, propuesto por ¨¦l y resuelto por Mascheroni, que consiste en dividir una circunferencia en cuatro partes iguales (o lo que es lo mismo, hallar los v¨¦rtices del cuadrado inscrito) utilizando solo un comp¨¢s (?te atreves a intentarlo?). Mascheroni lo incluy¨® en su libro Geometr¨ªa del Compasso (1797), en el que demostr¨® que cualquier construcci¨®n geom¨¦trica que se puede realizar con regla y comp¨¢s tambi¨¦n se puede hacer solo con comp¨¢s. Por cierto, Mascheroni dedic¨® su influyente libro a su amigo y protector Napole¨®n Bonaparte.

Tambi¨¦n hay algunos problemas de ajedrez relacionados con Napole¨®n, que era un gran aficionado a este juego y un ajedrecista m¨¢s que aceptable. Uno de los m¨¢s famosos es un final art¨ªstico compuesto por Alexander Petroff en el siglo XIX. El autor lo denomin¨® ¡°La retirada de Napole¨®n¡±, ya que est¨¢ inspirado en la derrota del ej¨¦rcito franc¨¦s en la Batalla de Mosc¨² de 1812 (si encuentras la soluci¨®n, entender¨¢s por qu¨¦).

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