Dise?os combinatorios

La segunda estrofa de una sextina, como vimos la semana pasada, reordena las terminaciones de los seis versos pasando de ABCDEF a FAEBDC. Si aplicamos el mismo criterio para pasar de la segunda a la tercera, de la tercera a la cuarta y as¨ª sucesivamente, obtenemos la secuencia:

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

Y si cambiamos por n¨²meros las tradicionales letras may¨²sculas que en la notaci¨®n po¨¦tica indican las terminaciones de los versos de arte mayo...

La segunda estrofa de una sextina, como vimos la semana pasada, reordena las terminaciones de los seis versos pasando de ABCDEF a FAEBDC. Si aplicamos el mismo criterio para pasar de la segunda a la tercera, de la tercera a la cuarta y as¨ª sucesivamente, obtenemos la secuencia:

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

Y si cambiamos por n¨²meros las tradicionales letras may¨²sculas que en la notaci¨®n po¨¦tica indican las terminaciones de los versos de arte mayor y disponemos en vertical las secuencias correspondientes a las sucesivas estrofas, obtenemos el siguiente esquema:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

No hay cifras repetidas en ninguna fila ni columna, por lo que el esquema de la sextina es como un sudoku reducido, con los n¨²meros del 1 al 6 en lugar de del 1 al 9. Aunque, para los matem¨¢ticos, antes que un sudoku es un cuadrado latino. Y esta vez la poes¨ªa podr¨ªa haberse adelantado a la matem¨¢tica, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados as¨ª por Euler mucho despu¨¦s) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito ¨¢rabe del siglo XIII.

Teor¨ªa del dise?o combinatorio

En cuanto al problema que hab¨ªa quedado pendiente (averiguar de cu¨¢ntas formas pueden agruparse siete elementos en siete grupos de tres elementos, si han de aparecer en el mismo n¨²mero de grupos y dos a dos solo en un grupo), he aqu¨ª la soluci¨®n aportada por Ignacio Alonso:

¡°Cada elemento estar¨¢ en tres tr¨ªos. Para, p. ej., el 7, el tr¨ªo asociado que contiene el 6 lo ser¨¢ con los d¨²os 65, 64¡­ 61 (5 posibles). Si el primero es 765, el segundo asociado que contiene el 4 podr¨ªa ser 743, 742 o 741 (3 posibilidades) y ya el tercero asociado a 765 y 743 solo puede ser 72. Total, 5 ¡Á 3 = 15 grupos de tres tr¨ªos posibles que contienen el 7. Los cuatro tr¨ªos sin el 7 restantes, asociados a un grupo de estos 15, sea el 765, 743, 721, contienen dos veces los 65, 64¡­ 61. Con el 6 los posibles son 642, 631 o 641, 632 (2 posibilidades), para cada una de estas dos, p.ej. 642, 631, solo una ¨²nica asociada, 541, 532, para completar este grupo de cuatro tr¨ªos, luego 15 ¡Á 2 = 30 ser¨¢n los grupos de 7 tr¨ªos posibles¡±.

Como vimos, este problema se podr¨ªa considerar una versi¨®n simplificada del cl¨¢sico ¡°problema de las colegialas¡± de Kirkman, del que solo hay siete soluciones no isomorfas (es decir, de estructuras no equivalentes). Pero si incluimos las soluciones isom¨®rficas, el n¨²mero aumenta considerablemente (?puedes calcularlo?).

Estos problemas -y tambi¨¦n los cuadrados latinos- tienen que ver con la denominada ¡°teor¨ªa del dise?o combinatorio¡±, desarrollada a partir de las aportaciones pioneras de Leonard Euler, Thomas Kirkman, Jacob Steiner, ?douard Lucas y otros grandes matem¨¢ticos de los siglos XVIII y XIX; teor¨ªa que, por cierto, debe no poco a la matem¨¢tica recreativa. Pero ese es otro art¨ªculo.

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