Dise?os combinatorios

La segunda estrofa de una sextina, como vimos la semana pasada, reordena las terminaciones de los seis versos pasando de ABCDEF a FAEBDC. Si aplicamos el mismo criterio para pasar de la segunda a la tercera, de la tercera a la cuarta y as¨ª sucesivamente, obtenemos la secuencia:

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

Y si cambiamos por n¨²meros las tradicionales letras may¨²sculas que en la notaci¨®n po¨¦tica indican las terminaciones de los versos de arte mayor y disponemos en vertical las secuencias correspondientes a las sucesivas estrofas, obtenemos el siguiente esquema:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

No hay cifras repetidas en ninguna fila ni columna, por lo que el esquema de la sextina es como un sudoku reducido, con los n¨²meros del 1 al 6 en lugar de del 1 al 9. Aunque, para los matem¨¢ticos, antes que un sudoku es un cuadrado latino. Y esta vez la poes¨ªa podr¨ªa haberse adelantado a la matem¨¢tica, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados as¨ª por Euler mucho despu¨¦s) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito ¨¢rabe del siglo XIII.

Teor¨ªa del dise?o combinatorio

En cuanto al problema que hab¨ªa quedado pendiente (averiguar de cu¨¢ntas formas pueden agruparse siete elementos en siete grupos de tres elementos, si han de aparecer en el mismo n¨²mero de grupos y dos a dos solo en un grupo), he aqu¨ª la soluci¨®n aportada por Ignacio Alonso:

¡°Cada elemento estar¨¢ en tres tr¨ªos. Para, p. ej., el 7, el tr¨ªo asociado que contiene el 6 lo ser¨¢ con los d¨²os 65, 64¡­ 61 (5 posibles). Si el primero es 765, el segundo asociado que contiene el 4 podr¨ªa ser 743, 742 o 741 (3 posibilidades) y ya el tercero asociado a 765 y 743 solo puede ser 72. Total, 5 ¡Á 3 = 15 grupos de tres tr¨ªos posibles que contienen el 7. Los cuatro tr¨ªos sin el 7 restantes, asociados a un grupo de estos 15, sea el 765, 743, 721, contienen dos veces los 65, 64¡­ 61. Con el 6 los posibles son 642, 631 o 641, 632 (2 posibilidades), para cada una de estas dos, p.ej. 642, 631, solo una ¨²nica asociada, 541, 532, para completar este grupo de cuatro tr¨ªos, luego 15 ¡Á 2 = 30 ser¨¢n los grupos de 7 tr¨ªos posibles¡±.

Como vimos, este problema se podr¨ªa considerar una versi¨®n simplificada del cl¨¢sico ¡°problema de las colegialas¡± de Kirkman, del que solo hay siete soluciones no isomorfas (es decir, de estructuras no equivalentes). Pero si incluimos las soluciones isom¨®rficas, el n¨²mero aumenta considerablemente (?puedes calcularlo?).

Estos problemas -y tambi¨¦n los cuadrados latinos- tienen que ver con la denominada ¡°teor¨ªa del dise?o combinatorio¡±, desarrollada a partir de las aportaciones pioneras de Leonard Euler, Thomas Kirkman, Jacob Steiner, ?douard Lucas y otros grandes matem¨¢ticos de los siglos XVIII y XIX; teor¨ªa que, por cierto, debe no poco a la matem¨¢tica recreativa. Pero ese es otro art¨ªculo.

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